Vektoren im 3dim.raum (jgst 13)

Izayoi_d4049f · 21. November 2009 um 16:46

Hallo zusammen!

Ich hab ein paar Fragen zum Thema Vektoren, die mich total verwirren.
Vorab: ich bin kein Mathegenie, also wäre ich sehr dankbar für möglichst einfache Erklärungsansätze.

Zu meinen Fragen:
1.Überprüfung, ob Punkte auf geraden liegen.

Eigentlich gilt hier ja: g:x= ortsvektor+ r* richtungsvektor

Jetzt habe ich bei einer Aufgabe die Angaben:
A (2/3/-1) und B (6/-3/-2) und soll überprüfen, ob P (6/-3/-2) auf der geraden durch A und B geht.

Ich hab mir überlegt, dass ich einfach die gleichung
P = A + r*B aufstelle und auchsrechne, aber das ist falsch, da B doch nicht der richtungsvektor ist, oder?

2.Gegenseitige Lage von Geraden

Das Thema hab ich wirklich versucht zu verstehen, aber es ging bisher nicht in meinen Kopf. Es gibt doch die Alternativen, dass sie einen Schnittpunkt haben, parallel sind oder windschief.Aber wie man das einzeln beweist hab ich nichtmal im ansatz verstanden.

3.Aufgabe: stellen sie den vektor BH als linearkombination der vektoren AB, BC und BF auf.

Ich habe hierbei eine Zeichnung und kann die anderen Punkte ablesen und es ist mir auch klar, was eine linearkombination aussieht.
Was mich verwirrt ist, das ich keine zahlenagaben für die vektoren selbst hab. BH z.B. ich hab die Zahlen für den Punkt B und den Punkt H. Aber wie komme ich denn damit jetzt auf den vektor BH??

Welche Punkte sind Schnittpunkte der geraden g:x mit den Koordinatenebenen. Dazu habe ich 4 punkte, die ich überprüfen soll. Aber wie überprüfe ich denn schnittpunkte mit koordinatenebenen??
Bestimmen sie werte des parameters u element R, für die die vektoren Au= (u^2/2/u) und Bu= (9-5u^2/-8/-4u) linear abhängig sind.

Soll cih dazu jetzt einfach die gleichung Au= r* Bu aufstellen und ganz normal die lineare Abhängigkeit überprüfen? Mich verwirrt es, das da steht, dass ich alle werte ausrechnen soll, sollte es nicht nur eine Lösung für u geben?

Ich denke das reicht erstmal. Ich weiß es ist viel, aber ich versuche schon eine ganz schöne Zeit damit klarzukommen…auch wenn ich mir das alles nicht im geringsten visuell vorstellen kann.Ich hoffe das ich den ein oder anderen Tipp bekomme und es dann endlich verstehe!

Vielen Dank!

TheBozz · 21. November 2009 um 19:02

Frage 1 und 2
Hey,

1.Überprüfung, ob Punkte auf geraden liegen.

Eigentlich gilt hier ja: g:x= ortsvektor+ r* richtungsvektor

Jetzt habe ich bei einer Aufgabe die Angaben:
A (2/3/-1) und B (6/-3/-2) und soll überprüfen, ob P
(6/-3/-2) auf der geraden durch A und B geht.

Ich hab mir überlegt, dass ich einfach die gleichung
P = A + r*B aufstelle und auchsrechne, aber das ist falsch, da
B doch nicht der richtungsvektor ist, oder?

Auch bei deinen anderen Fragen ist mir aufgefallen, dass du den Begriff „Verbindungsvektor“ noch nicht kennst, bzw nicht weißt was es bringt.
Es stimmt, dass B nicht der Richtungsvektor ist. B ist ein Punkt, der dazugehörige Ortsvektor ist b. Dies bedeutet, dass du vom Ursprung durch diesen Vektor zu B gelangst. Ein Verbindungsvektor ist jetzt ein Vektor, der von einem Punkt zu einem anderen Punkt zeigt. Dieser wird relativ einfach berechnet: Verbindungsvektor AB = b - a, also in deinem Beispiel (4 | -6 | -1). Dieser Vektor zeigt nun von A nach B - also ist das dein Richtungsvektor.

2.Gegenseitige Lage von Geraden

Das Thema hab ich wirklich versucht zu verstehen, aber es ging
bisher nicht in meinen Kopf. Es gibt doch die Alternativen,
dass sie einen Schnittpunkt haben, parallel sind oder
windschief.Aber wie man das einzeln beweist hab ich nichtmal
im ansatz verstanden.

Du hast identisch vergessen.
Vom Prinzip her musst du nur ein „Rezept“ befolgen:
-Untersuche, ob die Richtungsvektoren Vielfaches voneinander sind.

Wenn ja:
Wenn die Richtungsvektoren Vielfaches voneinander sind, dann bedeutet das ja, dass sie in die gleiche Richtung zeigen. Es bleibt also nur noch die Möglichkeiten, dass sie nur noch identisch oder parallel sind.
Um jetzt zu unterscheiden, welche der beiden Fälle vorliegt, musst du nur noch einen Punkt der Geraden 1 in die Gleichung der Gerade 2 einsetzen. Sollte der Punkt von Gerade 1 auf der Gerade 2 draufliegen, liegen (da Richtungsvektoren ja gleich sind) auch alle anderen Punkte drauf => sie sind identisch
Sollte der Punkt von Gerade 1 nicht auf Gerade 2 liegen, sind die Geraden parallel.

Wenn nein:
Es bleiben nur noch die Möglichkeiten: Sie schneiden sich oder sind windschief.
Da bleibt dir nichts anderes übrig, als die beiden GLeichungen gleichzusetzen. Du bekommst dadurch ein lineares Gleichungssystem. Sollte dieses LGS eindeutig lösbar sein, besitzen die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt.
Ist das LGS nicht lösbar, haben die beiden Geraden keinen gemeinsamen Punkt und zeigen nicht in die gleiche Richtung => sie sind windschief.

Sry, muss jetzt Essen machen Vllt komme ich nachher noch zu den anderen Fragen.
Gruß René

Martin · 21. November 2009 um 19:05

Hallo,

1.Überprüfung, ob Punkte auf geraden liegen.

Eigentlich gilt hier ja: g:x= ortsvektor+ r* richtungsvektor

ja, oder auch: g: x = a + λ r

a nennt man Aufpunktvektor und r Richtungsvektor der Geraden g.

Jetzt habe ich bei einer Aufgabe die Angaben:
A (2/3/-1) und B (6/-3/-2) und soll überprüfen, ob P
(6/-3/-2) auf der geraden durch A und B geht.

Ich hab mir überlegt, dass ich einfach die gleichung
P = A + r*B aufstelle und auchsrechne, aber das ist falsch, da
B doch nicht der richtungsvektor ist, oder?

Nein, b ist nicht der Richtungsvektor, sondern der Ortsvektor von B. Ein Richtungsvektor der durch A und B verlaufenden Geraden ist b – a. Weitere wären a – b oder 5638 ( b – a ). Das sind alles AB-Richtungsvektoren. Aber 78 b – 92 a wäre keiner!

2.Gegenseitige Lage von Geraden

Das Thema hab ich wirklich versucht zu verstehen, aber es ging
bisher nicht in meinen Kopf. Es gibt doch die Alternativen,
dass sie einen Schnittpunkt haben, parallel sind oder
windschief.Aber wie man das einzeln beweist hab ich nichtmal
im ansatz verstanden.

Ja, im 3D-Fall. Im 2D-Fall gibts „windschief“ nicht, sondern nur „identisch“ oder „nicht identisch – parallel“ oder „nicht identisch – schneiden sich in genau einem Punkt“. Um zwei gegebene Geraden zu testen bestimmt man alle Punkte, die auf beiden Geraden liegen. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge entweder (1) unendlich viele Punkte enthält. Dann sind die Geraden identisch. (2) genau einen Punkt enthält. Dann schneiden sich die Geraden in ebenjenem Punkt. (3) Leer ist. Dann sind die Geraden entweder nichtidentisch-parallel oder windschief zueinander. Was davon zutrifft, kann man anhand ihrer Richtungsvektoren entscheiden. Sind die Richtungsvektoren (nicht) parallel, sind es auch die Geraden (nicht).

3.Aufgabe: stellen sie den vektor BH als linearkombination der
vektoren AB, BC und BF auf.

Ich habe hierbei eine Zeichnung und kann die anderen Punkte
ablesen und es ist mir auch klar, was eine linearkombination
aussieht.
Was mich verwirrt ist, das ich keine zahlenagaben für die
vektoren selbst hab. BH z.B. ich hab die Zahlen für den Punkt
B und den Punkt H. Aber wie komme ich denn damit jetzt auf den
vektor BH??

Der Vektor, der von B nach H weist, ist h – b. Tipp: Diesen Zusammenhang braucht man ziemlich oft, deshalb am besten einmal gründlich anhand einer Skizze durchdenken und danach immer aus dem EffEff parat haben. Das spart Zeit und Nerven.

Welche Punkte sind Schnittpunkte der geraden g:x mit den
Koordinatenebenen. Dazu habe ich 4 punkte, die ich überprüfen
soll. Aber wie überprüfe ich denn schnittpunkte mit
koordinatenebenen??

Ich würde einfach die drei Koordinantenebenen-Schnittpunkte ausrechnen. Also wo g die xy-Ebene durchstößt und analog die xz-Ebene und yz-Ebene (sollte g komplett in einer Ebene verlaufen, was natürlich auch möglich ist, gibt es unendlich viele Punkte. Das würdest Du im Verlauf der Rechnung aber garantiert merken). Danach brauchst Du nur die Übereinstimmungen zu den gegebenen Punkten ablesen.

Bestimmen sie werte des parameters u element R, für die die
vektoren Au= (u^2/2/u) und Bu= (9-5u^2/-8/-4u) linear abhängig
sind.

Soll cih dazu jetzt einfach die gleichung Au= r* Bu aufstellen
und ganz normal die lineare Abhängigkeit überprüfen?

Ja.

Mich verwirrt es, das da steht, dass ich alle werte ausrechnen
soll, sollte es nicht nur eine Lösung für u geben?

Vorsicht, der Parameter u taucht hier quadriert auf (u²). Man könnte also die Frage stellen, ob das überhaupt noch eine Aufgabe der linearen Algebra ist, aber da die Nichtlinearität sich auf den u-Parameter beschränkt, lautet die Antwort doch wieder „ja“.

Die Aufgabe kann man im Kopf machen. Schau Dir (u^2/2/u) und (9-5u^2/-8/-4u) an. –8 ist das Minus-Vier-Fache von 2, und ebendies muss auch von den anderen Komponentenpaaren erfüllt sein, damit die Vektoren linear abhängig sind. Check der dritten Komponente: –4 u ist auch tatsächlich das Minus-Vier-Fache von u, es haut also hin. Spannend wirds bei der ersten Komponente: Für welche u ist 9 – 5 u² das Minus-Vierfache von u²? Der entsprechende Ansatz ist natürlich 9 – 5 u² = –4 u² und diese Gleichung hat die Lösungen –3 und 3.

Frag nach, wenn noch was unklar geblieben ist.

Gruß
Martin

Izayoi_d4049f · 21. November 2009 um 20:24

Guten Abend!

Erstmal vielen Dank für die ausführlichen Antworten, mir ist jetzt einiges wie Schuppen von den Augen gefallen!

WAs von den Fragen unklar geblieben ist, wäre nummer 3, also die Frage mit den koordinatenebnen.
ich sehe gar nicht welche Form die Koordinatenebenen haben und wie ich sie miteinbeziehen soll?
Zu den Angaben: g:x= (-3/1/-3)+ r* (2/4/-2)
und als erstes den Punkt A (-3/1/0)

Wie genau beziehe ich die Koordinatenebenen denn bloß ein?

Mir hat sich in der Zwischenzeit auch noch eine weitere Frage aufgedrängt:
Wie stelle ich denn mit zwei Geraden eine Paramtergleichung auf?? Entweder ich habe gerade ein Blackout, oder das ist eine nue Rechnungsaufgabe, die ich noch nicht kenne.

Vielen vielen Dank nochmal für die Hilfe!

TheBozz · 21. November 2009 um 21:36

Hey,

Wie genau beziehe ich die Koordinatenebenen denn bloß ein?

Koordinatenebenen haben folgende Gleichungen:

x_1x_2-Ebene: \ Koordinatengleichung: \ x_3 = 0

Parametergleichung: \ \left(\begin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \ 1 \ 0 \end{array}\right)

Mir hat sich in der Zwischenzeit auch noch eine weitere Frage
aufgedrängt:
Wie stelle ich denn mit zwei Geraden eine Paramtergleichung
auf?? Entweder ich habe gerade ein Blackout, oder das ist eine
nue Rechnungsaufgabe, die ich noch nicht kenne.

Mit 2 Geraden eine Gleichung von was aufstellen? Einer Ebene? Dann musst du nur den Richtungsvektor der einen Gerade an die andere Geradengleichung anhängen
Beispiel:
g: x = Ortsvektor + r * 1.Richtungsvektor
H: x = Ortsvektor + s * 2.Richtungsvektor

Ebene: E: x = Ortsvektor + r * 1.Richtungsvektor + s * 2.Richtungsvektor

Voraussetzung ist allerdings, dass die beiden Richtungsvektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen.

Gruß René

Izayoi_d4049f · 22. November 2009 um 13:36

Hallo!
Und wieder ein herrlicher Tag mit Mathe, der ansteht~

Erstmal wieder danke für die Antworten!

Aber mir ist Frage 3 immernochnichtklar…ich verstehe zwar die Koordinatengleichung aber nicht, was ich damit jetzt anfangen soll?
ich habe die Gerade g:x= (-3/1/-3) + r* (2/4/-2) und soll jetzt herausfinden, welcher der 4 angegebenen Punkte ein Schnittpunkt mit den koordinatenebenen ist.
die Koordinatengleichungsteht da oben aber…klick hat es leider immer noch nicht gemacht??

ich hätte des Weiteren eine Frage zu einr Auflösung…
also es geht darum eine Parameter gleichung zu einer Koordinatengleichung umzuformen, dazu haben wir ein beispiel, aber da versteh ich einen Schritt nicht:

E:x= (2/2/1)+r*(1/-2/3)+s*2/5/7)

daraus erhält man ja die Gleichungen

X1= 2+r+ 2s
X2= 2-2r+5s
X3= 1+3r+7s

Weiterhin wird umgeformt, sodass paramter wegfallen, also
2.te Gleichung + 2*1.ste Gleichung und
.te Gleichung + (-3* 1ste Gleichung)

=> x1 = 2+r+2s
2x1 +x2 = 6+9s
-3x1 +x3= -5+s

den nächsten schritt hingegen verstehe ich nicht, denn urplötzlich wird irgendwie umgeformt, sodass
x1= 2+r+2s
2x1 + x2= 6+9s
29x1+x2-9x3= 51

da steht? Egal wie ich wende und drehe, ich sehe nicht wie dort gearbeitet wurde?

Vielen dank und einen schönen Sonntag!

Martin · 22. November 2009 um 17:36

Glück auf,

ich habe die Gerade g:x= (-3/1/-3) + r* (2/4/-2) und soll
jetzt herausfinden, welcher der 4 angegebenen Punkte ein
Schnittpunkt mit den koordinatenebenen ist.

Frage: Wo durchstößt g die xy-Ebene? Antwort: Da, wo die z-Komponente von x verschwindet. Die z-Komponente von x ist –3 + λ (–2), also lautet der Ansatz –3 + λ (–2) = 0. Die Lösung dieser Gleichung ist eindeutig, nämlich λ = –3/2. Also gibt es einen Durchstoßpunkt und zwar (-3 | 1 | -3) + (–3/2) · (2 | 4 | -2) = (–6 | –5 | 0). Analog für die anderen beiden Komponenten (x-Komponente für die yz-Ebene, y-Komponente für die xz-Ebene).

Wäre die z-Komponente –3 + λ 0, gäbe es keinen Durchstoßpunkt, denn diese Gleichung ist unerfüllbar (Lösungsmenge = { }). Dann weiß man, dass die Gerade parallel zur xy-Ebene liegt. Wäre die z-Komponente 0 + λ 0, gäbe es unendlich viele gemeinsame Punkte zwischen g und der xy-Ebene, d. h. g verliefe dann innerhalb der Ebene. Die Gleichung 0 + λ 0 wird ja von jedem λ erfüllt (Lösungmenge = IR).

=> x1 = 2+r+2s
2x1 +x2 = 6+9s
-3x1 +x3= -5+s

Na, hier will man ja noch das s aus dritten Zeile weghaben, und das ist offensichtlich dadurch zu erreichen, indem man die zweite Gleichung mit –9 multipliziert und danach zur dritten addiert. Die Summe ist die neue dritte Gleichung 29 x1 + x2 - 9 x3 = 51, in der dann wie gewünscht kein s mehr vorkommt.

Bittebitte

Gruß
Martin