Vektoren Mittelung und Standardabweichung?

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich habe hier eine Anzahl von Vektoren (Winkel + Länge/Gewichtung), welche idealerweise alle in die selbe Richtung zeigen sollten.

Um eine Art „Mittelwert“ dieser Vektoren zu bekommen, werden die Vektoren aufaddiert.

Hierzu noch eine Frage:
Meine Vektoren haben zwar einen Winkel, aber keine Richtung, dh. 180 und 0 Grad wären identisch. Um diese nun zu addieren, korrigiere ich die Winkel auf den Bereich 0-180, verdoppele die Winkel, addiere die Vektoren und halbiere den Winkel des Ergebnisvektors. Das scheint korrekte Ergebnisse zu liefern - kann mir das jemand bestätigen?

Wichtig ist:
Ich brauche nun einen Qualitätsanzeiger, der mir sagt, wie gut die Vektoren in die selbe Richtung zeigen. Also so etwas wie eine Standardabweichung :wink:

Aber die Vektoren haben ja nicht nur einen Winkel, sondern auch eine Länge. Gibt es hierzu eine sinnvolle Darstellungsweise?

Gruß,
Martin

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Hallo,

ich habe hier eine Anzahl von Vektoren (Winkel +
Länge/Gewichtung), welche idealerweise alle in die selbe
Richtung zeigen sollten.

Um eine Art „Mittelwert“ dieser Vektoren zu bekommen, werden
die Vektoren aufaddiert.

Hierzu noch eine Frage:
Meine Vektoren haben zwar einen Winkel, aber keine Richtung,
dh. 180 und 0 Grad wären identisch. Um diese nun zu addieren,
korrigiere ich die Winkel auf den Bereich 0-180, verdoppele
die Winkel, addiere die Vektoren und halbiere den Winkel des
Ergebnisvektors. Das scheint korrekte Ergebnisse zu liefern -
kann mir das jemand bestätigen?

So wie ich das jetzt verstehe löschen sich zwei Vektoren aus, die im Winkel von 90° aufeinander stehen. Der Mittelwert wäre doch sicher eher die Winkelhalbierende.

Du könntest einfach die Richtung der Vektoren so wählen, dass das ganze Bündel in die selbe Richtung zeigt, und dann einen gewöhnlichen, nach Länge gewichteten Mittelwert bilden.

Wichtig ist:
Ich brauche nun einen Qualitätsanzeiger, der mir sagt, wie gut
die Vektoren in die selbe Richtung zeigen. Also so etwas wie
eine Standardabweichung :wink:

Aber die Vektoren haben ja nicht nur einen Winkel, sondern
auch eine Länge. Gibt es hierzu eine sinnvolle
Darstellungsweise?

Es lässt sich eine Menge Maße für die Abweichung ausdenken. Am besten ist das Maß, welches eine Gaußverteilung der Streuungen erzeugt. Das hängt aber davon ab, wie die Streuungen Deiner Werte entstehen…

hier zwei Vorschläge für die Varianz:

  • (Summe der Abstandsquadrate der Punkte, auf die die Vektoren zeigen, vom Mittelwert („Mittelpunkt“) in kartesischen Koordinaten)/n
  • (Summe der Quadrate der Winkelabweichung vom Mittelwert (mal Faktor, z.B. 1/(2pi) ) plus Summe der Quadrate der relativen Unterschiede der Längen zur Durchschnittslänge)/n

n ist die Anzahl der Vektoren, die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.

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Hallo,:So wie ich das jetzt verstehe löschen sich zwei Vektoren aus,

die im Winkel von 90° aufeinander stehen. Der Mittelwert wäre
doch sicher eher die Winkelhalbierende.

Ja, das siehst Du richtig - vorausgesetzt natürlich sie hätten den selben Wert.
Das Problem ist, welche Winkelhalbierende sollte denn die Richtige sein? Wenn meine Vektoren waagerecht und senkrecht liegen, sollte es dann 45, 135, 225 oder 315 Grad sein? DAS ist das Problem.

Genauer - ich habe viele mehr oder weniger ellipsenförmigen Objekte. Die mittlere Ausrichtung soll bestimmt werden. Aus der Form bekomme ich einen Winkel (aber halt keine Richtung…) und eine Gewichtung.
Wenn zwei Objekte mit gleichem Gewichtsfaktor senkrecht aufeinander stehen, dann denke ich schon, daß die richtige Interpretation wäre, daß sie sich auslöschen, denn welche Richtungsinformation sollte dann die korrekte sein?

Du könntest einfach die Richtung der Vektoren so wählen, dass
das ganze Bündel in die selbe Richtung zeigt, und dann einen
gewöhnlichen, nach Länge gewichteten Mittelwert bilden.

Das ist das Problem, es gibt zwar eine Vorzugsrichtung, aber die Winkel streuen über den gesamten Bereich. Wenn ich meine Winkel von 0 - 180 Grad betrachte, und der Hauptwinkel bei 0 Grad liegt, bekomme ich als Ergebnis 90 Grad, da sich die Winkel um 0 Grad zb. von 170 bis 180 und von 0 bis 10 Grad verteilen.
Okay, ich könnte die Winkel so schieben, daß sie um die Vorzugsrichtung liegen, dann könnte das gehen, aber dafür müßte ich die Vorzugsrichtung ja vorher wissen…
Deshalb habe ich mir das mit der Projektion von 180 auf 360 Grad und zurück ausgedacht und das liefert ganz gute Ergebnisse, nur ob das mathematisch perfekt ist, weiß ich halt nicht :wink:

Es lässt sich eine Menge Maße für die Abweichung ausdenken. Am
besten ist das Maß, welches eine Gaußverteilung der Streuungen
erzeugt. Das hängt aber davon ab, wie die Streuungen Deiner
Werte entstehen…

Wenn ich ein Histogramm bilde über die Winkel und die Gewichtung des Winkels mitnehme, dh. wenn der Winkel ein Gewicht von zB. 10 hat, packe ich diese 10 in den entsprechenden Bin, dann kommt etwas annähernd Gauß-Glockenförmiges raus.

hier zwei Vorschläge für die Varianz:

  • (Summe der Abstandsquadrate der Punkte, auf die die Vektoren
    zeigen, vom Mittelwert („Mittelpunkt“) in kartesischen
    Koordinaten)/n

Führt dann nicht ein sehr langer Vektor, der aber genau in die Vorzugsrichtung zeigt, zu einem hohen Wert? Das wäre ja nicht Sinn der Sache. Oder hab ich Dich falsch verstanden?

  • (Summe der Quadrate der Winkelabweichung vom Mittelwert (mal
    Faktor, z.B. 1/(2pi) ) plus Summe der Quadrate der relativen
    Unterschiede der Längen zur Durchschnittslänge)/n

Das muß ich mal ausprobieren.

die Standardabweichung ist die
Wurzel aus der Varianz.

DAS hab ich im Studium schon noch gelernt :wink:

Gruß,
Martin

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Hallo,

Ich brauche nun einen Qualitätsanzeiger, der mir sagt, wie gut
die Vektoren in die selbe Richtung zeigen. Also so etwas wie
eine Standardabweichung :wink:

Dann könntest du die Vektoren in Kugelkorrdinaten ausdrücken, und die Standardabweichung von theta und phi bilden.

Grüße,
Moritz

5

Dann könntest du die Vektoren in Kugelkorrdinaten ausdrücken,
und die Standardabweichung von theta und phi bilden.

Wie meinen? Meine Vektoren sind 2D, Winkel und Länge, was mach ich dann im Raum?

Gruß,
Martin

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Hallo Martin

ich habe hier eine Anzahl von Vektoren (Winkel +
Länge/Gewichtung), welche idealerweise alle in die selbe
Richtung zeigen sollten.

Um eine Art „Mittelwert“ dieser Vektoren zu bekommen, werden
die Vektoren aufaddiert.

Hierzu noch eine Frage:
Meine Vektoren haben zwar einen Winkel, aber keine Richtung,
dh. 180 und 0 Grad wären identisch. :

Vielleicht verstehe ich Dein Problem nicht richtig. Aber ein Vektor, der eine Länge und einen Winkel hat, hat auch eine Richtung!
Wenn einer der Vektoren 0° hat und per Definition positiv ist, so ist ein Vektor mit 180° im selben System negativ! Das ist nun mal so.
Ich würde zur Mittelwertbildung alle Vektoren in ihre orthogonalen Komponenten vorzeichenrichtig(!) zerlegen, und von diesen Komponenten dann getrennt die Mittelwerte bilden. Die Länge ergibt sich dann aus den beiden neuen orthogonalen Mittelwertvektoren. Bei konsquenter vorzeichenrichtiger Zerlegung, sollte das dann den mittleren Richtungsvektor ergeben.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim

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Hallo,

Dann könntest du die Vektoren in Kugelkorrdinaten ausdrücken,
und die Standardabweichung von theta und phi bilden.

Wie meinen? Meine Vektoren sind 2D, Winkel und Länge, was mach
ich dann im Raum?

Ich war fälschlicherweise von drei Dimensionen ausgegangen. In 2D kannst du Polarkoordinaten nehmen, und über den Winkelanteil mitteln.

Grüße,
Moritz

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Hallo,

Vielleicht verstehe ich Dein Problem nicht richtig. Aber ein
Vektor, der eine Länge und einen Winkel hat, hat auch eine
Richtung!
Wenn einer der Vektoren 0° hat und per Definition positiv ist,
so ist ein Vektor mit 180° im selben System negativ! Das ist
nun mal so.

Stell Dir vor, Du spielst Mikado. Und ich möchte nun die Richtung bestimmen, in die die meisten Stäbe liegen.

Da die Stäbe keine Richtung haben, ist 0 Grad in diesem Fall gleich 180 Grad.

In meinem Fall haben die Mikadostäbchen nun noch verschiedene Längen. Die mit der größeren Länge gehen stärker in den „Durchschnittswinkel“ ein als die kurzen.

Und davon möchte ich nun ein Maß haben, wie viel oder wie wenig die Mikadostäbchen um den Durchschnittswinkel verteilt sind.

Gruß,
Martin

9

Hallo,

ja das Mitteln ist nicht das Problem, das Problem ist, ein Maß für die Abweichung von der Vorzugsrichtung zu finden.

Und vor allem gehen die Vektoren größerer Länge natürlich stärker in den Durchschnittswinkel ein als die kleinerer Länge.

Gruß,
Martin