Vektoren und ihre Beträge

Wissenschaft Physik
1

Hallo,

ich bin gerade dabei, einige Beweise mit Hilfe von Skalarprodukten durchzuführen und frag mich nun, warum eine bestimmte Aussage, die mein Mathebuch zu diesem Thema macht, richtig ist.

Kurz gesagt ist meine Frage folgende:
Warum kann ich annehmen, dass der Betrag eines Vektors und der Vektor selbst „identisch“ sind? In meinem konkreten Fall lautet die Behauptung:

Vektor a „minus“ Vektor b ergibt null, da der Betrag von Vektor a gleich dem Betrag von Vektor b ist.

Diese Annahme hab ich nun schon bei mehreren Beweisen verwendet und würde nun eben gern wissen, warum das so ist. Der Zusammenhang zwischen Vektor und seinem Betrag ist mir im Prinzip klar, nur weiß ich nicht, wie ich dadurch dann auf die oben genannte Annahme kommen kann. Es wäre also nett, wenn mir jemand einen Tipp zur Lösung dieses Problems geben könnte!

Gruß
Ann

2

Hallo!

Vektor a „minus“ Vektor b ergibt null, da der Betrag von
Vektor a gleich dem Betrag von Vektor b ist.

Die Folgerung müsste anders sein: Weil Vektor a - Vektor b = 0 ist, gilt Betrag a gleich Betrag b. Die Umkehrung gilt nicht. zum Beispiel haben die beiden Einheitsvektoren e x = (1,0,0) und e y = (0,1,0) den gleichen Betrag (nämlich 1), sind aber nicht identisch:

e x - e y = (1,-1,0) (ungleich 0 )

Michael

3

Danke für die Antwort!

Die Folgerung müsste anders sein: Weil Vektor a - Vektor b = 0
ist, gilt Betrag a gleich Betrag b. Die Umkehrung gilt nicht.

Das heißt, es gibt im Prinzip kene Möglichkeit, die von mir genannte Folgerung zu begründen?

Ich werde jetzt mal einen Beispielbeweis durchführen, vielleicht wird dann mein genaues Problem ein bisschen klarer.

Aufgabe:
Beweisen Sie: Wenn ein Viereck zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten hat, dann sind die Diagonalen zueinander orthogonal.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks habe ich mit den Vektoren a und b, sowie mit c und d bezeichnet.

Die Behauptung ist, dass die Diagonalen, bezeichnet mit Vektor e und Vektor f, orthogonal sind, dass also gilt
Vektor e * Vektor f = 0 (I)

Dann habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
Vektor e = Vektor b - Vektor c (II)
Vektor f = Vektor b - Vektor a (III)

Wenn man nun (II) und (III) in (I) einsetzt und ausmultipliziert, erhält man
b^2 - ab - bc + ac (jeweils mit Vektorpfeilen).

Da gilt
Vektor a = Vektor b
Vektor c = Vektor d
(dadurch bedingt, dass jeweils zwei Seiten gleich lang sind)
schreibe ich nun

b^2 - b^2 + bc - bc = 0 q.e.d.

Das kann ich aber nur so schreiben wenn ich annehme, dass eben Vektor und Betrag des Vektors austauschbar sind.

Meine Frage ist nun, ob der Beweis so richtig geführt ist und falls ja, wie man die Sache mit den Vektoren und Beträgen dann begründen kann.

Gruß
Ann

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4

Danke für die Antwort!

Die Folgerung müsste anders sein: Weil Vektor a - Vektor b = 0
ist, gilt Betrag a gleich Betrag b. Die Umkehrung gilt nicht.

Das heißt, es gibt im Prinzip kene Möglichkeit, die von mir
genannte Folgerung zu begründen?

Ich werde jetzt mal einen Beispielbeweis durchführen,
vielleicht wird dann mein genaues Problem ein bisschen klarer.

Aufgabe:
Beweisen Sie: Wenn ein Viereck zwei Paare gleich langer
benachbarter Seiten hat, dann sind die Diagonalen zueinander
orthogonal.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks habe ich mit den
Vektoren a und b, sowie mit c und d bezeichnet.

Die Behauptung ist, dass die Diagonalen, bezeichnet mit Vektor
e und Vektor f, orthogonal sind, dass also gilt
Vektor e * Vektor f = 0 (I)

Dann habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
Vektor e = Vektor b - Vektor c (II)
Vektor f = Vektor b - Vektor a (III)

Wenn man nun (II) und (III) in (I) einsetzt und
ausmultipliziert, erhält man
b^2 - ab - bc + ac (jeweils mit Vektorpfeilen).

Da gilt
Vektor a = Vektor b
Vektor c = Vektor d
(dadurch bedingt, dass jeweils zwei Seiten gleich lang sind)
schreibe ich nun

b^2 - b^2 + bc - bc = 0 q.e.d.

Das kann ich aber nur so schreiben wenn ich annehme, dass eben
Vektor und Betrag des Vektors austauschbar sind.

Meine Frage ist nun, ob der Beweis so richtig geführt ist und
falls ja, wie man die Sache mit den Vektoren und Beträgen dann
begründen kann.

Vektoren a, b, c, d

a und b aus dem Ursprung im Winkel von 45° zueinander.
vektor a + vektor b ergibt die lange diagonale (ursprung bleibt. keine vektorverschiebung)
vektor a - vektor b ergibt die kurze diagonale (die musst du noch verschieben, zumindest gedanklich).
ob die beiden vektoren (diagonalen) dann rechtwinklig zueinanderstehen kannst Du mit einem einfachen Test rausfinden, den ich grad nicht im kopf hab (ich glaube… ja doch: wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist, stehen sie im rechten Winkel zueinander.). Wenn Du das jetzt mit allgemeinen Vektoren durchrechnest sollte der Beweis eigentlich stehen.

Bei Unverständlichkeiten einfach nachfragen. Ach ja. Vektor c wäre an der spitze von a, vektor d an der spitze von b. Damit hättest du das parallelogramm auch auf papier.

moe.

5

Auch dir Danke für deine Antwort, Moe!

Ich kopier hier nocheinmal einen Teil des (verbesserten) Beweises von meinem letzten Post, vielleicht könntest du mir sagen, ob ich diesen so führen kann.

Aufgabe:
Beweisen Sie: Wenn ein Viereck zwei Paare gleich langer
benachbarter Seiten hat, dann sind die Diagonalen zueinander
orthogonal.

Die jeweils benachbarten Seiten des Vierecks habe ich mit den
Vektoren a und b, sowie mit c und d bezeichnet.

Die Behauptung ist, dass die Diagonalen, bezeichnet mit Vektor
e und Vektor f, orthogonal sind, dass also gilt
Vektor e * Vektor f = 0 (I)

Dann habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
Vektor e = Vektor b - Vektor c (II)
Vektor f = Vektor b - Vektor a (III)

Wenn man nun (II) und (III) in (I) einsetzt und
ausmultipliziert, erhält man
b^2 - ab - bc + ac (jeweils mit Vektorpfeilen).

Da gilt
Betrag von Vektor a = Betrag von Vektor b
Betrag von Vektor c = Betrag von Vektor d
(dadurch bedingt, dass jeweils zwei Seiten gleich lang sind)
schreibe ich nun

b^2 - b^2 + bc - bc = 0 (jeweils mit Vektorpfeil) q.e.d.

Soweit bin ich, das heißt im Prinzip steht der Beweis (falls er so richtig ist). Meine Frage war jetzt eigentlich nur, warum ich im letzten Schritt annehmen kann, dass die Vektoren und ihre Beträge quasi austauschbar sind?!? Ist mein Problem verständlich?

Ach ja. Vektor c
wäre an der spitze von a, vektor d an der spitze von b. Damit
hättest du das parallelogramm auch auf papier.

Die entstehende Figur ist dann aber schon eine Art Drachen, oder?

Gruß
Ann

6

Auch dir Danke für deine Antwort, Moe!

Ich kopier hier nocheinmal einen Teil des (verbesserten)
Beweises von meinem letzten Post, vielleicht könntest du mir
sagen, ob ich diesen so führen kann.

Aufgabe:
Beweisen Sie: Wenn ein Viereck zwei Paare gleich langer
benachbarter Seiten hat, dann sind die Diagonalen zueinander
orthogonal.

Die jeweils benachbarten Seiten des Vierecks habe ich mit den
Vektoren a und b, sowie mit c und d bezeichnet.

Die Behauptung ist, dass die Diagonalen, bezeichnet mit Vektor
e und Vektor f, orthogonal sind, dass also gilt
Vektor e * Vektor f = 0 (I)

Dann habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
Vektor e = Vektor b - Vektor c (II)
Vektor f = Vektor b - Vektor a (III)

Wenn man nun (II) und (III) in (I) einsetzt und
ausmultipliziert, erhält man
b^2 - ab - bc + ac (jeweils mit Vektorpfeilen).

Da gilt
Betrag von Vektor a = Betrag von Vektor b
Betrag von Vektor c = Betrag von Vektor d
(dadurch bedingt, dass jeweils zwei Seiten gleich lang sind)
schreibe ich nun

b^2 - b^2 + bc - bc = 0 (jeweils mit Vektorpfeil) q.e.d.

Soweit bin ich, das heißt im Prinzip steht der Beweis (falls
er so richtig ist). Meine Frage war jetzt eigentlich nur,
warum ich im letzten Schritt annehmen kann, dass die Vektoren
und ihre Beträge quasi austauschbar sind?!? Ist mein Problem
verständlich?

Ich weiß nicht, ob Du das tatsächlich annehmen kannst (tut Dein Buch das?). Ich würde diese Annahme nicht machen. Du kommst auch zu einem Ergebnis, wenn Du die Vektoren „auftrennst“. Du schreibst also Vektor a als (a1, a2). a1 und a2 sind dann die x und die y komponente. ich würde a1 über a2 in der Klammer schreiben, aber das geht hier so schlecht :wink:

Dann kannst Du Deine Gleichung nochmal aufstellen und versuchst, Vektoren durch andere zu ersetzen. Beispiel: f=b-a also (f1, f2) = (b1, b2) - (a1, a2).
(a1, a2) kannst Du auch als (-b1, +b2) schreiben… usw.
Damit brauchst Du die Betragsgeschichte gar nicht. Ob das trotzdem so möglich wäre oder nur zufällig funktioniert, diese Frage muss ich leider an die Fachleute hier weitergeben. Ich würde behaupten (ohne Gewähr), dass das hier klappt, weil die Richtung der Vektoren egal ist. Die Figur entsteht mit allen denkbaren Vektoren, solange die Betragsbedingung erfüllt ist. Würdest Du Vektoren mit eindeutig bestimmten Richtungen betrachten, würde das Ersetzen der Vektoren durch Ihren Betrag wohl scheitern.

Ach ja. Vektor c
wäre an der spitze von a, vektor d an der spitze von b. Damit
hättest du das parallelogramm auch auf papier.

Die entstehende Figur ist dann aber schon eine Art Drachen,
oder?

Japp.

moe.

7

Hallo!

Hat lange gedauert am Sonntagmorgen, bis ich draufkam…

Leider hast Du es Dir bei der Lösung etwas zu einfach gemacht.

Aufgabe:
Beweisen Sie: Wenn ein Viereck zwei Paare gleich langer
benachbarter Seiten hat, dann sind die Diagonalen zueinander
orthogonal.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks habe ich mit den
Vektoren a und b, sowie mit c und d bezeichnet.

Nur zur Klarstellung: In den Ecken des Vierecks treffen die Spitzen der Vektoren b und c bzw a und d aufeinander. Richtig? Ich möchte zusätzlich noch folgende Bezeichnungen einführen. Eine Ecke sei OBdA der Koordinatenursprung O. Von dort führt die Seite a zur Ecke A und die Seite b zur Ecke B. Die vierte Ecke F ist über die Diagonale f mit dem Ursprung verbunden. (Fettgedruckte Buchstaben stehen bei mir für Vektoren). Wir betrachten also das Viereck OBFA.

Die Behauptung ist, dass die Diagonalen, bezeichnet mit Vektor
e und Vektor f, orthogonal sind, dass also gilt
Vektor e * Vektor f = 0 (I)

Dann habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
Vektor e = Vektor b - Vektor c (II)
Vektor f = Vektor b - Vektor a (III)

Wenn man nun (II) und (III) in (I) einsetzt und
ausmultipliziert, erhält man
b^2 - ab - bc + ac (jeweils mit Vektorpfeilen).

korrekt. In meiner Schreibweise:

ef = bb - ab - bc + ac (IV)

Da gilt
Vektor a = Vektor b
Vektor c = Vektor d
(dadurch bedingt, dass jeweils zwei Seiten gleich lang sind)
schreibe ich nun

Hier ist der Fehler: Dass die Seiten gleich lang sind, bedeutet nur, dass die Beträge der Vektoren gleich sind, nicht jedoch die Vektoren selbst. Du müsstest also schreiben:
| a |=| b | (V)
| c |=| d |

b^2 - b^2 + bc - bc = 0 q.e.d.

Das geht ein bisschen zu schnell.

Stattdessen würde ich jetzt in Gleichung IV die Ortsvektoren der Eckpunkte einsetzen:

a = A - O = A
b = B - O = B
c = B - F
d = A - F
e = B - A
f = F - O = F

Dann ergibt sich aus IV:

ef = BB - AB - B ( B - F )+ A ( B - F )

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert:
ef = BF - AF

Hier setzten wir die Definition des Skalarprodukts ein:
ef =| B || F |cos beta - | A || F | cos alpha

Da | A |=| B | (Gl. V) und alpha=beta (Die Diagonale f bildet die Symmetrieachse des Vierecks) folgt:
ef =0 (q.e.d.)

Meine Frage ist nun, ob der Beweis so richtig geführt ist und
falls ja, wie man die Sache mit den Vektoren und Beträgen dann
begründen kann.

Der Beweis war nicht richtig geführt. Der Fehler hat sich nur wegen der Symmetrieeigenschaften des Vierecks nicht bemerkbar gemacht.

Gruß, Michael

8

Hallo Michael,

so dachte ich das auch zuerst (Dein Einwand, dass die Betragsbetrachtung nicht gültig ist), aber mittlerweile denke ich,dass sie doch gültig ist. Schließlich gibt es nur zwei einschränkende Bedingungen im zu betrachtenden System. Diese Bedingungen sind |a|=|b| und |c|=|d|. (neben vielleicht a+b+c+d=0)

Mit der Ersetzung von a durch |a| kann man also nicht aus der Definitionsmenge „rausfallen“. Sicher gilt Deine AUssage, dass nur der Spezialfall der Symmetrie (im weiteren Sinne) hier diese Vorgehensweise anwendbar macht, aber eben diese Symmetrie ist Grundbestandteil der untersuchten Grafik. Gäbe es die Symmetrie nicht, könnte man auch die gemachte AUssage nicht beweisen, weil sie nicht gültig wäre.

Provokatives Beispiel:
Aussage:
Ein Winkel in einem Dreieck muss 90° Grad haben, wenn die anderen beiden zusammen 90° haben. Beweis: 180-90=90. Ein Einwand könnte sein.Das gilt aber nur für den Spezialfall, dass die Winkelsumme 180° beträgt, was bei einem Viereck nicht der Fall ist. Ja, aber wir betrachten nun mal ein Dreieck…

oder was meinst Du?

sorry wegen der möglicherweise mathematisch unkorrekten Ausdrucksweise :wink:

moe.

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9

Hallo Moe!

Mit der Ersetzung von a durch |a| kann man also nicht aus der
Definitionsmenge „rausfallen“. Sicher gilt Deine AUssage, dass
nur der Spezialfall der Symmetrie (im weiteren Sinne) hier
diese Vorgehensweise anwendbar macht, aber eben diese
Symmetrie ist Grundbestandteil der untersuchten Grafik. Gäbe
es die Symmetrie nicht, könnte man auch die gemachte AUssage
nicht beweisen, weil sie nicht gültig wäre.

Für einen Beweis darf ich nur Aussagen verwenden, die entweder durch die Aufgabe gegeben oder allgemeingültig sind. Das heißt, ich darf damit arbeiten, dass „| a |=| b |“ (durch die Aufgabe gegeben) oder „wenn ef =0, dann sind e und f orthogonal“ (allgemeingültig). " a = | a |" ist aber schlicht und ergreifend eine falsche Aussage und darf in einem Beweis nicht verwendet werden. Dadurch, dass die Rechnung mit dieser Aussage das Postulat bestätigt, wird weder das Postulat bewiesen, noch die Aussage richtiger.

Jeder Logiker weiß: Aus falschen Aussagen kann man alles folgern.

Michael

10

Hallo!

Ich weiß nicht, ob Du das tatsächlich annehmen kannst (tut
Dein Buch das?).

Hmm, ich denke schon, dass mein Mathebuch dies annimmt (wenn ich da jetzt nicht wieder einen Denkfehler meinerseits reingebracht hab).

Bei der Beispielaufgabe im Buch soll bewiesen werden, dass in einem Quader die Raumdiagonale (Vektor d) und die Diagonale der Grundfläche (Vektor e) orthogonal sind.
Es werden dann verschiedene Voraussetzungen beschrieben (‚jeweils zwei der den Quader aufspannenden Vektoren (a, b und c) miteinander mulitipliziert ergeben Null‘ und ‚„Betrag Vektor a = Betrag Vektor b“, da die Grundfläche quadratisch ist‘).
Am Ende, nachdem die Voraussetzungen in die Behauptung eingesetzt wurden, steht da dann:
d*e = 0-a^2+b^2-0+0-0 = 0 (jeweils mit Vektorpfeil) , da „Betrag Vektor a = Betrag Vektor b“

Meiner Ansicht nach ist die Vorgehensweise in diesem Beispiel dieselbe wie in dem von mir durchgeführten Beweis. Oder gibt es irgendeinen Unterschied, der es mit sich bringt, dass man in der Aufgabe in meinem Mathebuch die Vektoren und ihre Beträge gleichsetzen darf und bei anderen Aufgaben eben nicht???

Du
kommst auch zu einem Ergebnis, wenn Du die Vektoren
„auftrennst“. Du schreibst also Vektor a als (a1, a2). a1 und
a2 sind dann die x und die y komponente. ich würde a1 über a2
in der Klammer schreiben, aber das geht hier so schlecht :wink:

Dann kannst Du Deine Gleichung nochmal aufstellen und
versuchst, Vektoren durch andere zu ersetzen. Beispiel: f=b-a
also (f1, f2) = (b1, b2) - (a1, a2).
(a1, a2) kannst Du auch als (-b1, +b2) schreiben… usw.
Damit brauchst Du die Betragsgeschichte gar nicht.

Wenn ich das mache, komme ich auf Gleichungen, die ungefähr so aussehen: b^2-ab-bc+ac = 0 usw.
Kannst du mir einen Tipp geben wie ich dann weiter vorgehen müsste, um diese Gleichung zu erfüllen? Kann ich nun einfach annehmen, dass gilt: a=b=c ???

Sorry, wenn dieser Beitrag jetzt noch wirrer ist als die bisherigen, aber irgendwie verwirrt mich das alles ein bisschen… :wink:

Gruß
Ann

11

Hallo Michael!

Nur zur Klarstellung: In den Ecken des Vierecks treffen die
Spitzen der Vektoren b und c bzw a und
d aufeinander. Richtig?

Ja, ist in meiner Zeichnung auch so.

Da gilt
Vektor a = Vektor b
Vektor c = Vektor d
(dadurch bedingt, dass jeweils zwei Seiten gleich lang sind)

Hier ist der Fehler: Dass die Seiten gleich lang sind,
bedeutet nur, dass die Beträge der Vektoren gleich sind, nicht
jedoch die Vektoren selbst. Du müsstest also schreiben:
| a |=| b | (V)
| c |=| d |

Okay, das war ein Leichtsinns-Schreibfehler meinerseits. Auf meinem Blatt sind die Betragsstriche vorhanden.

b^2 - b^2 + bc - bc = 0 q.e.d.

Das geht ein bisschen zu schnell.
(…)

Der Beweis war nicht richtig geführt. Der Fehler hat sich nur
wegen der Symmetrieeigenschaften des Vierecks nicht bemerkbar
gemacht.

Hmm, ich frag mich jetzt eben, warum das mit den Vektoren und Beträgen so nicht funktioniert und es in meinem Mathebuch (meiner Ansicht nach) trotzdem so drinsteht.
Vielleicht kannst du dir mal meinen Beitrag an Moe von heute, 23.36Uhr, kurz durchlesen. Da hab ich das Beispiel aus meinem Mathebuch beschrieben und viellecht hast du ja eine Erklärung für das mir Unerklärliche:smile:

Vielen Dank schonmal für die Mühe!

Gruß
Ann

12

Hallo ann!

Bei der Beispielaufgabe im Buch soll bewiesen werden, dass in
einem Quader die Raumdiagonale (Vektor d) und die Diagonale
der Grundfläche (Vektor e) orthogonal sind.
Es werden dann verschiedene Voraussetzungen beschrieben
(‚jeweils zwei der den Quader aufspannenden Vektoren (a, b und
c) miteinander mulitipliziert ergeben Null‘ und ‚„Betrag
Vektor a = Betrag Vektor b“, da die Grundfläche quadratisch
ist‘).
Am Ende, nachdem die Voraussetzungen in die Behauptung
eingesetzt wurden, steht da dann:
d*e = 0-a^2+b^2-0+0-0 = 0 (jeweils mit Vektorpfeil) , da
„Betrag Vektor a = Betrag Vektor b“

Ah, jetzt wird das Missverständnis klar. Das Buch verwendete zusätzlich noch

aa =| a |²

Diese Gleichung gilt aber nur für das „Betragsquadrat“, d. h. wenn ein Vektor mit sich selbst multipliziert wird. Sobald die Vektoren in unterschiedliche Richtung weisen, kannst Du Beträge und Vektoren nicht mehr vertauschen.

Beispiel:
a =(3,4,0) | a |=5
b =(1,-1,0) | b |=Wurzel(2)

aa = 3*3 + 4*4 + 0*0 = 25 = 5² =| a |²

ab = 3*1 + 4*(-1) + 0*0 = -1
| a |*| b |= 5 * Wurzel(2) = Wurzel(50)
-1 ungleich Wurzel(50)!

Michael

13

Lösung?
Habt Ihr die Aufgabe mittlerweile korrigiert? Was war die Lösung für die fragwürdige Beweisführung?

thx
moe.

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Hallo Moe!

Habt Ihr die Aufgabe mittlerweile korrigiert? Was war die
Lösung für die fragwürdige Beweisführung?

Der Beweis ist Teil einer Hausarbeit, ich habe also noch keine „richtige“ Lösung. Ich habe mir aber die Lösungsansätze von dir und Michael nochmals genau angeschaut und bin nun auf eine (für mich zumindest) zufriedenstellende Lösung gekommen :smile:

Ich nehme an, dass sich die Beweisführung in meinem Buch (falls du die meinst) durch das Quadrieren der Vektoren erklären lässt (wie Michael ja angemerkt hat).

Vielen Dank auf jeden Fall dir für deine Hilfe!!!

Gruß
Ann

15

Danke für die Hilfe!
Hallo Michael!

Ich habe mit deinen und Moe’s Erklärungen nun eine Lösung gefunden, die so hoffentlich stimmen wird.

Vielen Dank also für die Hilfe und die vielen geduldigen Erklärungen!

Gruß
Ann