hi,
1.)
Zeigen Sie, dass U= {(x1; x2; x3) | x1+2x2+3x3= 0 } ein
Teilraum von R^3 ist und die Vektoren b1 = (-2; 1; 0) und b2 =
(-3; 0; 1) eine Basis von U bilden.
(Vektoren müssten eigentlich als Spaltenvektoren geschrieben
werden…)
ob zeilen oder spalten ist völlig egal.
du musst zunächst zeigen, dass die summe solcher vektoren wieder die definierende eigenschaft hat und das produkt mit einem skalar ebenfalls.
also: du hast vektor x = (x1, x2, x3) und y = (y1, y2, y3)
wobei x1 + 2x2 + 3x3 = 0 und auch y1 + 2y2 + 3y3 = 0
du musst zeigen, dass x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) auch diese eigenschaft hat.
das ist der fall, denn (x1 + y1) + 2*(x2 + y2) + 3*(x3 + y3) =
= (umgeordnet) (x1 + 2x2 + 3x3) + (y1 + 2y1 + 3y3) = 0 + 0 = 0
ähnlich mit der multiplikation mit einem skalar; nenn ihn r.
du musst dann zeigen, dass die beiden vektoren b1 und b2 linear unabhängig sind und jeder vektor aus U aus ihnen gebildet werden kann.
lin.unabh.:
setz eine linearkombination aus b1 und b2 an und schau, wann sie 0 wird.
s*(-2; 1; 0) + t*(-3; 0; 1) = (0; 0; 0)
heißt, komponentenweise:
2. komponente: s = 0
3. komponente: t = 0
also: 0-vektor nur so darstellbar, also lin. unabh.
bildung:
nimm einen vektor x aus U, also gilt für ihn: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
und setze versuchsweise
x = (x1, x2, x3) = s*(-2; 1; 0) + t*(-3; 0; 1) = (-2s -3t; s; t)
dann also:
s = x2
t = x3
und x1 = -2s - 3t = -2x2 - 3x3
damit ist dann also x1 + 2x2 + 3x3 = 0
also kann man jeden solchen vektor auf diese art (mit diesen vektoren b1 und b2) bilden. (du musst nur als faktor für b1 die koordinate x2 und als faktor für b2 die koordinate x3 wählen)
also sind b1 und b2 eine basis.
Fassen wir R3 als geometrischen Vektorraum auf, wird U zu
einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält). Notieren Sie eine
Gleichung von E1.
die gleichung dieser ebene ist eben
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2.)
Betrachten Sie die drei Punkte P= (1; 1; 1) , Q = ( 3; q2; q3)
und R (2; 5; r3). Die fehlenden Komponenten q2, q3, und r3
sollen so gewählt werden, dass die Vektoren PQ und PR linear
abhängig sind und zugleich in E1(bzw.U) liegen.
PQ = (2; q2 - 1; q3 - 1)
PR = (1; 4; r3 - 1)
die sollen linear abhängig sein. also muss der eine ein vielfaches des anderen sein. an der ersten komponente kann man schon den faktor ablesen: 2
also 4 * 2 = q2 - 1
oder 9 = q2
und 2 * (r3 - 1) = q3 - 1 einerseits
und 2 + 2 * (q2 - 1) + 3 * (q3 - 1) = 0
und 1 + 2 * 4 + 3 * (r3 - 1) = 0
(weil ja in U liegend)
also:
2 * (r3 - 1) = q3 - 1
15 + 3q3 = 0 oder q3 = -5
und
9 + 3r3 - 3 = 0
also r3 = -2
wir haben also
P = (1; 1; 1)
Q = (3; 9; -5)
R = (2; 5; -2)
und PQ = (2; 8; -6)
PR = (1; 4; -3)
und
PQ = 2 * PR
Warum liegen die drei Punkte P, Q und R auf einer Geraden g1 ?
weil die beiden richtungsvektoren PQ und PR linear abhängig sind und damit also in die (im wesentlichen) gleiche richtung zeigen.
Geben Sie eine Gleichugn dieser Geraden an und untersuchen Sie
deren Lage zur Ebene E1.
X = P + s * PR z.b.
also z.b.
X = (1; 1; 1) + s * (1; 4; -3)
der richtungsvektor dieser geraden (PR) liegt in der ebene … so ist er ja errechnet worden. damit liegt diese gerade entweder in der ebene oder ist parallel zu ihr. die frage ist dann, ob irgendein punkt dieser geraden in U bzw. E1 liegt; bspw. der punkt P.
das tut der aber nicht - P erfüllt die ebenengleichung nicht - also ist die gerade echt parallel und liegt nicht in der ebene.
so; hoffentlich hab ich mich nirgends verrechnet & vertippt. so frisch von der tastatur ist das nicht ganz leicht.
und frage: bitte, in welchem zusammenhang brauchstndu sowas?
hth
m.
))