Hallo Experten
Ich komme bei folgender Aufgabe irgendwie nicht weiter.
Berechnen Sie den Ortsvektor rs des Schwerpunktes eines Dreieks ABC aus den Ortsvektoren ra, rb und rc.
Ich bin dankbar für alle Hilfe.
Vielen Dank
Markus
hi,
Berechnen Sie den Ortsvektor rs des Schwerpunktes eines
Dreieks ABC aus den Ortsvektoren ra, rb und rc.
schreibweise der ortsvektoren ist etwas gewöhnungsbedürftig, aber egal:
wenn du wissen darfst, dass sich die schwerlinien eines dreiecks im verhältnis 1:2 zu schneiden, dann einfach:
rs = ra + 1/2 * (rb-ra) + 1/3 * (rc - 1/2 * (ra+rb))
(du kommst zum schwerpunkt, indem du z.b. zum punkt A gehst, von dort die hälfte der strecke AB und dann 1/3 der verbindung dieses mittelpunkts mit dem gegenüberliegenden eckpunkt C.)
umgeformt gibt das:
rs = ra + 1/2 * rb - 1/2 * ra + 1/3 * rc - 1/6 * ra - 1/6 * rb =
= 1/3 * ra + 1/3 * rb + 1/3 * rc = 1/3 * (ra + rb + rc)
wenn du hingegen noch nicht wissen darfst, dass sich die schwerlinien 1:2 schneiden, musst du das als vektorgleichung über 2 verschiedene wege zum schwerpunkt ansetzen:
rs = ra + 1/2 * (rb-ra) + t * (rc - 1/2 * (ra+rb)) =
= rb + 1/2 * (rc-rb) + s * (ra - 1/2 * (rc+rb))
gibt:
1/2 * ra + 1/2 * rb + t * rc - t/2 * ra - t/2 * rb =
= 1/2 rb + 1/2 rc + s * ra - s/2 rc - s/2 rb
oder:
ra * (1/2 - t/2) + rb * (1/2 - t/2) + t * rc =
= ra * s + rb * (1/2 - s/2) + rc * (1/2 - s/2)
damit:
1/2 - t/2 = s
1/2 - t/2 = 1/2 - s/2
t = 1/2 - s/2
oder:
1 - t = 2s
t = s
2t = 1 - s
oder t = s = 1/3
das ist das besagte 1/3 von oben, das man jetzt noch einsetzen könnte. (s.o.)
hth
m.
Hallo Michael
Vielen Dank für deine Antwort, du hast mir sehr geholfen.
Jetzt hat es auch bei mir geklappt.
m.f.G. Markus