Hossa 
Die Bedingung, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen bedeutet, dass ihr Skalarprodukt gleich Null ist. In deinem Fall bedeutet dies:
\left(\vec u+\vec v\right)\cdot\left(\vec u+\frac{\vec v}{2}\right)=0
Die linke Seite kann man ausrechnen:
\vec u\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec u+\vec u\cdot\frac{\vec v}{2}+\vec v\cdot\frac{\vec v}{2}=0
\vec u^2+\frac{3}{2}\vec u\cdot\vec v+\frac{1}{2}\vec v^2=0
Das Skalarprodukt aus zwei identischen Vektoren ist gleich dem Quadrat der Länge dieser Vektoren
\vec u^2=u^2\quad;\quad\vec v^2=v^2
und das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren ist gleich dem Produkt der Vektorlängen multipliziert mit dem Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren
\vec u\cdot\vec v=uv\cdot\cos\phi
Damit lautet die obige Gleichung:
u^2+\frac{3}{2}uv\cdot\cos\phi+\frac{v^2}{2}=0
Diese Gleichung kann man nach dem gesuchten Winkel Phi umstellen:
\cos\phi=-\frac{2}{3uv}\left(u^2+\frac{v^2}{2}\right)
Nun weißt du, dass einer der Vektoren die Länge 4 und der andere die Länge 3 hat. Leider ist nicht angegeben, welcher Vektor welche Länge hat, also machen wir eine Fallunterscheidung:
1. Fall: u=4, v=3
Diese Werte in die Gleichung eingesetzt liefern:
\cos\phi=-\frac{1}{18}\left(16+\frac{9}{2}\right)=-\frac{41}{36}
Da der Cosinus eines Winkels nie kleiner als -1 sein kann, liefert dieser Fall keine Lösung.
2. Fall: u=3, v=4
Diese Werte in die Gleichung eingesetzt liefern:
\cos\phi=-\frac{1}{18}\left(9+\frac{16}{2}\right)=-\frac{17}{18}
Dieser Fall liefert die gesuchte Lösung. Der Winkel ist
\phi=\arccos\left(-\frac{17}{18}\right)\approx160,81^o
Viele Grüße
Hasenfuß
