Vektorgeometrie

Wissenschaft Physik
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Hallo Mathematiker!

Es ist lange her und ich hab es ewig nicht mehr gebraucht. Googlen hat nicht geholfen, also frage ich Euch:

Ich brauche die Projektion eines Vektors (oder Punktes) auf eine Ebene. Wie ging das nochmal? Am liebsten über den Normalenvektor.
Konkret ist die Ebene z. B. die X-Y-Ebene.
Was mich letzlich interessiert, ist der Winkel zwischen X-Achse und dem Projizierten Vektor. Gegeben ist der Winkel des Originalvektors zu derselben Achse. Aber das krieg ich schon alleine hin.

Eine Website zu solchen Themen, also etwas mehr als Darstellungsformen der Ebene, Abstände und Schnitte, wäre auch prima.

Vielen Dank schonmal.
Gruß
Arndt

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Hallo,

da du den Vektor auf die XY-Ebene projizieren willst, ist die Sache sehr einfach: Setze einfach die Z-Koordinate des Vektors gleich Null!

Der Vektor (px,py,pz) wird damit zu a = (px,py,0). Das ist der auf die XY-Ebene projezierte Vektor.

Den Winkel zur X-Achse (die du dir als Vektor b = (1,0,0) denken kannst), bekommst du durch das Skalarprodukt oder das Kreuzprodukt. Beide sind zB. bei Wickipedia gut erklärt:

Für das Skalarprodukt lautet die Gleichung

a*b = |a|*|b|*cos(w)

wobei a und b die beiden Vektoren sind und w der Winkel zwischen den Vektoren. Also:

a = (px,py,0)
b = (1,0,0)

a*b = px*1 + py*0 + pz*0 = px
|a| = wurzel(px²+py²+0²) = wurzel(px²+py²)
|b| = wurzel(1²+0²+0²) = 1

Eingesetzt in die Formel für’s Skalarprodukt:

px = wurzel(px²+py²) * cos(w)

und umgestellt nach w:

w = arccos (px/wurzel(px²+py²))

Das war’s.

Wenn die Ebene, auf die projeziert wird, eine beliebige Ebene ist, funktioniert das mit dem Skalarprodukt genauso, nur wird die Berechnung der Projektion schwieriger. Eine Formel dafür habe ich nicht an der Hand, daher würde ich folgenden Weg gehen: Aus dem Punkt und der Projektionsrichtung (zB dem Normalenvektor der Ebene) eine Gerade machen. Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene berechnen. Winkel dieses Vektors zur x-Achse berechnen.

Gruß
Jochen