Also wir haben in Mathe gerade Skalaprodukte, Kollinearität usw durchgenommen. Wir hatten 3 Vektoren mit den Koordinaten A (1/1/0) B (2/3/6) und C (0/0/x). Dabei sollten die Vektoren AC und AB die gleiche Strecke haben. Wir haben einfach den Betrag der beiden Vektoren gleichgestellt und dann nach x aufgelöst. Ich habe mir Gedanken darüber gemacht und meine Lehrerin bestätigte mir die Idee, es geht auch über den Vektorkettensatz. Also müssen die Vektoren AB+BC+CA=0 ergeben. Wenn ich jetzt aber die Vektoren ausrechne, dann heben sich ja die beiden x-Werte gegenseitig auf. Ich find leider den Fehler nicht, kann mir evtl jemand helfen?
Also müssen die Vektoren AB+BC+CA=0 ergeben.
Das ist sowieso immer 0. Wenn du von A einen Umweg gehst und schließlich zurück zu A gehst, landest du offensichtlich bei A.
mfg,
Ché Netzer
Hast du vieleicht mit AC und nicht mit CA gerechnet?
0=AB+BC+CA oder 0=AB+BC-AC
ja das ist mir klar, dass das alles 0 ergeben soll. Aber meine frage ist, ob man damit auch die Unbekannte herausfinden kann. Meine Mathelehrerin meint es geht, aber ich habe eben das Problem, dass sich die Unbekannte x vom Punkt C selbst herausdividiert
Mit der Gleichung geht das nicht.
Egal, was du für x einsetzt und egal, ob du einen der Punkte völlig veränderst, die Gleichung stimmt immer. Und eine Lösung erhält man nicht.
mfg,
Ché Netzer
Also müssen die Vektoren AB+BC+CA=0 ergeben.
Das ist sowieso immer 0. Wenn du von A einen Umweg gehst und
schließlich zurück zu A gehst, landest du offensichtlich bei
A.
Das ist ja richtig. Wenn er aber die Werte einsetzt und dann aus Versehen mit AC statt CA rechnet, kehrt er die Richtung des Vektors um und muss statt + mit - rechnen.
Es wäre hilfreich, wenn er seinen Rechenweg mitteilen würde.
Versuchen wir es mal:
AB+BC=AC
Die angabe in den Klammern sind die x-y-z Vektoren, aus denen sich der Vektor zusammensetzt und ergibt sich aus den Endpunktkoordinaten minus Anfangspunktjoordinaten. Das x von punkt C ist hier Cz
AB=(Bx-Ax)i+(By-Ay)j+(Bz-Az)k=(2-1)i+(3-1)j+(6-0)k=1i+2j+6k
BC=(Cx-Bx)i+(Cy-By)j+(Cz-Bz)k=(0-2)i+(0-3)j+(Cz-6)k=-2i+(-3)j+(Cz-6)k
AC=(Cx-Ax)i+(Cy-Ay)j+(Cz-Az)k=(0-1)i+(0-1)j+(Cz-0)k=-1i+(-1)j+(Cz)k
Daraus folgt:
(1i+2j+6k)+(-2i±3j+(Cz-6)k)=AC
-1i-1j+(Cz)k=AC=-1i+(-1)j+(Cz)k
Czk=Czk
Ich hoffe meine Rechnung ist richtig.
Nach dieser Rechnung kannst du für den Z-Wert von C einsetzten, was du willst.
Das ist auch logisch. Durch die Änderung von Cz ändern sich BC und AC um den gleichen Betrag in die gleiche Richtung und die Gleichung ist erfüllt.
Die Gleichung trifft aber keine Aussage über die Beträge der Verktoren.
Ich würde somit deiner Lehrerin wiedersprechen, daß du es auf diese weise rauskriegst.
Es ist also kein Fehler in deiner Rechnung.
Vektorkettensatz. Also müssen die Vektoren AB+BC+CA=0 ergeben.
Wenn du einen Punkt im Raum verschiebst, ist das Ergebnis trotzdem 0.
Das ist ja richtig. Wenn er aber die Werte einsetzt und dann
aus Versehen mit AC statt CA rechnet, kehrt er die Richtung
des Vektors um und muss statt + mit - rechnen.
Es wäre hilfreich, wenn er seinen Rechenweg mitteilen würde.
Sorry Denkfehler. Habs nachgerechnet. Egal was du für x einsetzt, das Ergebnis muss 0 sein, da du den Punkt im Raum vershchiebst und damit auch die Vektoren.
Versuchen wir es mal:
AB+BC=AC
Die angabe in den Klammern sind die x-y-z Vektoren, aus denen
sich der Vektor zusammensetzt und ergibt sich aus den
Endpunktkoordinaten minus Anfangspunktjoordinaten. Das x von
punkt C ist hier Cz
AB=(Bx-Ax)i+(By-Ay)j+(Bz-Az)k=(2-1)i+(3-1)j+(6-0)k=1i+2j+6k
BC=(Cx-Bx)i+(Cy-By)j+(Cz-Bz)k=(0-2)i+(0-3)j+(Cz-6)k=-2i+(-3)j+(
Cz-6)k
AC=(Cx-Ax)i+(Cy-Ay)j+(Cz-Az)k=(0-1)i+(0-1)j+(Cz-0)k=-1i+(-1)j+(
Cz)k
Daraus folgt:
(1i+2j+6k)+(-2i±3j+(Cz-6)k)=AC
-1i-1j+(Cz)k=AC=-1i+(-1)j+(Cz)k
Czk=Czk
Ich hoffe meine Rechnung ist richtig.
Keine Ahnung, habe sie mir nicht angesehen. Aber die Gleichung, von der du ausgehst, ist für ausnahmslos alle Punkt richtig. Nicht nur für ein bestimmtes, gesuchtes (0,0,z).
Nach dieser Rechnung kannst du für den Z-Wert von C
einsetzten, was du willst.
natürlich. Die Gleichung gilt ja auch immer. Du hast sicherlich an keiner Stelle darauf geachtet, dass die genannten Beträge gleich groß sein sollen.
Das ist auch logisch.
Nein. Absolut nicht. NEIN!!
Durch die Änderung von Cz ändern sich BC
und AC um den gleichen Betrag in die gleiche Richtung und die
Gleichung ist erfüllt.
Eben. Die Gleichung gilt IMMER.
Die Gleichung trifft aber keine Aussage über die Beträge der
Verktoren.
Genau.
Ich würde somit deiner Lehrerin wiedersprechen, daß du es auf
diese weise rauskriegst.
Ich auch.
Es ist also kein Fehler in deiner Rechnung.
Doch, im Ansatz.
Vektorkettensatz. Also müssen die Vektoren AB+BC+CA=0 ergeben.
Wenn du einen Punkt im Raum verschiebst, ist das Ergebnis
trotzdem 0.
Habe ich schon erwähnt…
Neben dem Ansatz, den Betrag von AC mit dem von AB gleichzusetzen, fällt noch ein Weg über Kugelgleichungen ein:
Man wählt A als Mittelpunkt einer Kugel und |AB|=sqrt(41)=:r (wenn ich mich nicht verrechnet habe) als Radius.
Dann erhält man die Kugelgleichung
x=r(\cos(a),\sin(a)\cos(b),\sin(a)\sin(b))^T+(1,1,0)^T.
Und dort soll ein Punkt (0,0,z)^T auf der Kugel gesucht werden.
-\frac1r=\cos(a)\Rightarrow a\approx 98,98^\circ
\Rightarrow -\frac1{r\sin(a)}=\cos(b)\Rightarrow b\approx 80,9^\circ
\Rightarrow z=r\sin(a)\sin(b)\approx 6,245
Oder die andere Kugelgleichung:
z(x,y)=\sqrt{41-(x-1)^2-(y-1)^2}
Einfach zweimal 0 einsetzen:
z(0,0)=\sqrt{41-1-1}\approx 6,245
Und mit dem Gleichsetzen der Beträge:
2+z^2=41\Rightarrow z^2=39\Rightarrow z\approx 6,245
Dürfte die einfachste Methode sein 
mfg,
Ché Netzer
Keine Ahnung, habe sie mir nicht angesehen. Aber die
Gleichung, von der du ausgehst, ist für ausnahmslos alle Punkt
richtig. Nicht nur für ein bestimmtes, gesuchtes (0,0,z).Nach dieser Rechnung kannst du für den Z-Wert von C
einsetzten, was du willst.natürlich. Die Gleichung gilt ja auch immer. Du hast
sicherlich an keiner Stelle darauf geachtet, dass die
genannten Beträge gleich groß sein sollen.
Asche auf mein Haupt. Wer lesen kann ist klar im Vorteil.
Man müsste den Betrag für -1i-1j+(Cz)k=AC mit dem Betrag von AB gleichsetzen und dann nach Cz auflösen.
Dann hätte die Lehrerin recht.
Ich würde somit deiner Lehrerin wiedersprechen, daß du es auf
diese weise rauskriegst.Ich auch.
Es ist also kein Fehler in deiner Rechnung.
Doch, im Ansatz.
Eher im Ende.
Habe ich schon erwähnt…
Neben dem Ansatz, den Betrag von AC mit dem von AB
gleichzusetzen, fällt noch ein Weg über Kugelgleichungen ein:
Man wählt A als Mittelpunkt einer Kugel und |AB|=sqrt(41)=:r
(wenn ich mich nicht verrechnet habe) als Radius.
Dann erhält man die Kugelgleichung
x=r(\cos(a),\sin(a)\cos(b),\sin(a)\sin(b))^T+(1,1,0)^T.
Und dort soll ein Punkt (0,0,z)^T auf der Kugel gesucht
werden.
-\frac1r=\cos(a)\Rightarrow a\approx 98,98^\circ
\Rightarrow -\frac1{r\sin(a)}=\cos(b)\Rightarrow b\approx
80,9^\circ
\Rightarrow z=r\sin(a)\sin(b)\approx 6,245Oder die andere Kugelgleichung:
z(x,y)=\sqrt{41-(x-1)^2-(y-1)^2}
Einfach zweimal 0 einsetzen:
z(0,0)=\sqrt{41-1-1}\approx 6,245Und mit dem Gleichsetzen der Beträge:
2+z^2=41\Rightarrow z^2=39\Rightarrow z\approx 6,245
Dürfte die einfachste Methode sein
Geb ich dir recht. Vor allem geht es schneller und man braucht weniger Papier zum Schreiben.