Hallo an alle!!
Hab bis morgen folgende Aufgabe auf:
Bestimme die Mächtigkeit aller Vektorräume mit genau einer Basis.
Hab leider keine Ahnung man sowas macht und bin dankbar für jede Hilfe.
Gruß Daniel
Hallo Daniel,
so eine ähnliche Frage habe ich hier vor ein paar Tagen schonmal gehabt!
Erstmal darf der zugrunde liegende Körper nicht mehr als zwei Elemente haben, denn sonst könnte man ja mehrere Vektoren wählen. Das reduziert den Körper auf F_2 = Z / 2Z, der nur aus den Zahlen 0 und 1 besteht, sowie natürlich alle Körper, die dazu äquivalent sind.
Bleibt die Frage der Dimension. Ein Basisvektor ist erst einmal ein Vektor, der nicht der Nullvektor ist. Also gibt’s für den ersten Basisvektor von F^n sdchonmal (2^n - 1) Möglichkeiten. Wenn es nur eine Möglichkeit geben soll, darf demzufolge nur n=1 gelten.
Die Mächtigkeit ist also 1, modulo Äquivalenzen.
Chris
Hallo Chris,
wenn ich mich recht erinnere, ordnet man jedem Vektorraum, der nur aus dem Nullvektor besteht (sog. Nullvektorraum) die leere Menge als Basis zu. Diese Basis ist dann eindeutig. Die Mächtigkeit des Nullvektorraumes ist 1.
Der Vektorraum F^2 (als Vektorraum über F_2) hat -wie du richtig erwähntest- eine eindeutige Basis, nämlich bestehend aus dem Vektor, der nicht der Nullvektor ist. Die Mächtigkeit von F^2 ist aber 2, und nicht 1.
Viele Grüße
Jens
PS: Möglicherweise bist du davon ausgegangen, dass nach der Mächtigkit der Basis gefragt war, dann hättest du mit 1 natürlich recht. In diesem Fall wäre die Antwort für den Nullvektorraum 0. Gefragt war aber nach der Mächtigkeit des Vektorraumes…
PPS: Vielleicht war ja auch nach der Mächtigkeit der Menge aller Vektorräume mit eindeutiger Basis gefragt. Dann hätten wir schonmal mindestens 2 Elemente dieser Menge gefunden (F^2 und Nullvektorraum). Die Antwort hinge in diesem Fall davon ab, ob alle zu F^2 isomorphen Vektorräume als wohlunterschieden Elemnte angesehen werden sollen oder nicht.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]