Vektorräume und Unterräume beweisen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo ich hab hier golgende Aufgabe:

Sei\ M=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a & b \ -a & 0 & c \ -b & -c & 0 \end{pmatrix} |:a,b,c\in\mathbb{R}\end{Bmatrix}\subseteq M_{33}(\mathbb{R}).

Beweisen Sie, dass M ein Unterraum von
M_{33}(\mathbb{R})
ist.

Dazu muss ich zeigen das:

1.
M\subseteq M_{33}(\mathbb{R})

2.
M\neq\emptyset

3.
M_1 + M_2 \in M

4.
\lambda \cdot M_1 \in M

Meine Lösung:

Zu 1:
Da a,b,c reelle Zahlen sein sollen ist es offensichtlich das
M\subseteq M_{33}(\mathbb{R})
gilt.

Zu 2:

Wegen \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in M \ ist \ M\neq\emptyset

Zu 3:

M_1+M_2=\begin{pmatrix} 0 & a_1 & b_1 \ -a_1 & 0 & c_1 \ -b_1 & -c_1 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & a_2 & b_2 \ -a_2 & 0 & c_2 \ -b_2 & -c_2 & 0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0+0 & a_1+a_2 & b_1+b_2 \ -a_1-a_2 & 0+0 & c_1+c_2 \ -b_1-b_2 & -c_1-c_2 & 0+0 \end{pmatrix} \in M

Zu 4:

\lambda M_1=\lambda\begin{pmatrix} 0 & a_1 & b_1 \ -a_1 & 0 & c_1 \ -b_1 & -c_1 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \lambda 0 & \lambda a_1 & \lambda b_1 \ \lambda -a_1 & \lambda 0 & \lambda c_1 \ \lambda -b_1 & \lambda -c_1 & \lambda 0 \end{pmatrix} \in M

Da ich solche Beispiele noch nie gemacht habe frage ich mich ob das so stimmt und ausreicht oder ob man noch was verbessern könnte.
Danke schonmal für eure Hilfe

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Hallo Tux86,

das ist so weit richtig, allerdings solltest du bei 3 und 4 begründen, warum die Matrizen in M enthalten sind. Etwa dadurch, dass, wenn a_1 und a_2 reelle Zahlen sind, auch a_1 + a_2 wegen der Körpereigenschaften eine reelle Zahl ist; also dass die Koordinaten von M_1 + M_2 bzw. lambda M alle Bedingungen von M erfüllen.
Das scheint offensichtlich, allerdings zielen solche Aufgaben darauf ab, dass man das Offensichtliche mathematisch beweist und nicht für selbstverständlich nimmt :wink:

Liebe Grüße!

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Danke für die schnelle Antwort.

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Hallo!
Es tut mir leid, aber ich kann dir da leider nicht helfen. Ich habe das noch nie gemacht.
Ich wünsche dir viel Glück! :smile:

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ich finde Deine Lösung ok. Allenfalls hätte ich der Deutlichkeit wegen am Ende noch eine Matrix mit Nullen(ohne den Faktor Lambda)angefügt.
Gruß von Max

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Hallo Tux

Zuerst sei gesagt, dass ich mich mit Vektorräumen nicht allzu gut auskenne. Deine Argumentation scheint jedoch sehr plausibel. Ich sehe darin keinen Fehler.
Lediglich bei Punkt 4 sehe ich etwas, das mir nach Flüchtigkeitsfehler aussieht. Du hasst geschrieben:

Zu 4:

\lambda M_1=\lambda\begin{pmatrix} 0 & a_1 & b_1 \ -a_1 & 0 &
c_1 \ -b_1 & -c_1 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \lambda 0 & \lambda a_1 & \lambda b_1 \
\lambda -a_1 & \lambda 0 & \lambda c_1 \ \lambda -b_1 &
\lambda -c_1 & \lambda 0 \end{pmatrix} \in M

In der ersten Spalte, Zeilen 2 und 3, und in der 2. Spalte, Zeile 3 hast du nun jedoch eine Subtraktion „Lambda minus a1“ etc. Es sollte „minus Lamba mal a1“ sein, eine Multiplikation, da Lambda ja ein Faktor ist.

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Vielen Dank

ich finde Deine Lösung ok. Allenfalls hätte ich der
Deutlichkeit wegen am Ende noch eine Matrix mit Nullen(ohne
den Faktor Lambda)angefügt.
Gruß von Max

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Danke sehr

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Hallo,

Punkt 2. scheint mir falsch, bzw. zumindest falsch geschrieben zu sein.

M=0 ergibt fuer mich keinen Sinn. 0 Element aus M dagegen sieht richtig aus.

Der Rest sollte ok sein.

Viele Gruesse,
Walkuerax

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Hallo.

Aus meiner Sicht sieht dies eigentlich alles ganz gut aus - allenfalls den vierten Punkt könnte man möglicherweise noch genauer aufschlüsseln, warum das Produkt mit einem Skalar in der Menge verbleibt.

Ansonsten sehe ich auf Anhieb keinen Fehler.

Viele Grüsse.

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Vielen Dank