Angenommen man hat je nach Dimension (R1, R2, R3 etc) eine Gerade, Ebene etc, so existieren dazu ja orthogonale Vektoren.
Wieviele Lösungsvektorräume (Dimensionen) entstehen dabei (Koordinatenfreie Darstellung)
Meine Idee wäre:
Für Vektor in R1 0
Für V. in R2 1
Für V. in R3 2
Kann mir jemand dabei helfen?
Hi Ben,
wenn ich Deine Frage richtig verstanden habe, so ist die Lösung eigentlich trivial.
Wenn die entsprechenden Vektoren alle orthogonal zueinander sind, so sind sie linear unabhängig. Beweisen kannst Du das sehr einfach, indem Du zeigst, dass allein die triviale Linearkombination den Nullvektor ergibt. Und nun besagt Deine Aussage, dass es in einem n-dimensionalen Vektorraum maximal n linear unabhängige Vektoren gibt. Dies ist aber gerade die Definition der Dimension.
Man kann es auch noch anders ausdrücken. Wenn Du den Endomorphismus betrachtest, welcher die Projektion auf die Gerade beschreibt, so ist der Rang dieser Matrix 1, nämlich gleich der Dimension des durch die Gerade aufgespannten Raumes. Die Dimension des Kerns, der Defekt der Matrix, ist dann gerade gleich der Dimension des Urbildraumes minus dem Rang der Matrix.
War es das?
Gruß
Ted
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Vielen Dank für deine Hilfe!
Es hat mir sehr weitergeholfen!