Guten Tag,
Hi !
Ich habe mit folgender Aufgabe Probleme:
Sei K ein Körper und sei d in N_0.
a) Bestimme die Dimension des K-Verktorraumes K[X]_d.
Du solltest vielleicht dazu sagen, was mit dieser Schreibweise gemeint ist. Ich rate jetzt mal und nehme an du meinst die Polynome d-ten Grades mit Koeffizienten in K.
Die Frage ist ja wie viele linear unabhängige Vektoren es in diesem Vektorraum gibt. Die Vektoren sind dabei Polynome.
Es gibt auf jeden Fall schon mal mindestens d+1 Stück, nämlich die Monome
1,x,x2,…,xd
Wie man nachweist, dass die tatsächlich linear unabhängig sind, weißt du hoffentlich.
Jetzt kannst du noch zeigen, dass jedes Polynom aus K[x]_d eine Linearkombination dieser Monome ist, wobei das schon fast trivial ist.
Damit gibt es also keine weiteren Polynome mehr in K[X]_d die nicht von den Monomen linear abhängig sind.
Das bedeutet, die Dimension von K[X]_d ist d+1.
b) Konstruiere bezüglich einer von dir gewählten Basis v von
Q[X]_6 die Darstellungsmatrix M(D,v,v) der formalen Ableitung
d:Q[X]_6 -> Q[X]_6.
Es spricht erstmal nichts dagegen die Basis
1,x,x2,…,x6
zu wählen
Der Vektor (a0,…,a6) entspricht dann dem Polynom
p(x)=\sum\limits_{n=0}^6 a_nx^n
Jetzt überleg dir was davon die Ableitung ist und welchem Vektor das entspricht. So solltest du auf die Darstellungsmatrix kommen.
Zur Kontrolle:
D=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0\0&0&2&0&0&0&0\0&0&0&3&0&0&0\0&0&0&0&4&0&0&\0&0&0&0&0&5&0\0&0&0&0&0&0&6\0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}
c) Berechne den Kern von D (auch in K=Q und d=6)
Der Kern ist die Menge der Vektoren die von d auf 0 abgebildet werden. Du kannst dir auch überlegen welche Polynome abgeleitet 0 ergeben und welchen Vektoren diese Polynome entsprechen.
Viel Erfolg !
hendrik