Vektorrechnung

Wissenschaft Physik
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Hallo Leute!
Ich habe hier zwei Mathematikaufgaben, die mich zum Rasen bringen! ich hoffe ihr könnt mir da irgendwie weiter helfen. Danke schonmal!

1.) Die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks seien M a (1;2), M b (-3;0) und M c (3;-2). Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreiecks!

2.) Gegeben seien die Punkte A (0;1) und B (2;5). Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes C auf der x-Achse, der von A und B gleich weit entfernt ist!

OK, das sind sie.
Liebe grüße

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Auch hallo.

1.) Die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks seien M a
(1;2), M b (-3;0) und M c (3;-2). Ermitteln Sie die
Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreiecks!

Da gibt es viele Möglichkeiten, z.B. könnten die Mittelpunkte
schon die Eckpunkte des Dreiecks sein :wink:
Aber eine Veränderung in x-y-Richtung muss auf beiden Seiten eines Mittelpunkts erfolgen: Strecke a = (1;2) +/- t (x;y)
Skizze:

Analog für Strecke b: (-3;0) +/- u (x;y)
C: (3;-2) +/- v (x;y)
Immer mit anderen (x;y) Werten.
Diese Gleichungen sind gleichzusetzen und auszurechnen.

2.) Gegeben seien die Punkte A (0;1) und B (2;5). Berechnen
Sie die Koordinaten eines Punktes C auf der x-Achse, der von A
und B gleich weit entfernt ist!

Entfernung beider Punkte ist Wurzel ((0-2)^2 + (1-5)^2). Von A und
B nach C also die Hälfte.
Aber einfacher gerechnet ist der Mittelpunkt von (2+0)/2 = 1 und (5+1)/2 = 2. Macht für C den Punkt (1;3)

HTH
mfg M.L.

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Da gibt es viele Möglichkeiten,

z.B. könnten die Mittelpunkte
schon die Eckpunkte des Dreiecks sein :wink:

Ein Mittelpunkt als alleinige Strecke würde die Bedingung verletzen: dann wären trotzdem 3 Mittelpunkte vorhanden, aber andere als die der Aufgabenstellung.

und (5+1)/2 = 2.

-> Ergebnis ist 3

Und die Mittelpunkte auf einen 2-dimensionalen Papier aufzeichnen kann auch helfen :wink:

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Hallo nochmal!

2.) Gegeben seien die Punkte A (0;1) und B (2;5). Berechnen
Sie die Koordinaten eines Punktes C auf der x-Achse, der von A
und B gleich weit entfernt ist!

Entfernung beider Punkte ist Wurzel ((0-2)^2 + (1-5)^2). Von A
und
B nach C also die Hälfte.
Aber einfacher gerechnet ist der Mittelpunkt von (2+0)/2 = 1
und (5+1)/2 = 2. Macht für C den Punkt (1;3)

Das der Mittelpunkt der Strecke AB (1;3) ist, war mir auch schon bewusst! Der Punkt C soll ja auf der X-Achse liegen, verstehst du mein Problem!

mfg

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Das der Mittelpunkt der Strecke AB (1;3) ist, war mir auch
schon bewusst! Der Punkt C soll ja auf der X-Achse liegen,
verstehst du mein Problem!

#:smile: x-( (oder …?)
Wenn nur die x-Achse betrachtet werden soll, wird y=0 gesetzt. Daraus
folgt dann C=(1;0)

mfg M.L.

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Hallo,

  1. Aufgabe:
    Wenn x die gesuchte Koordinate von C ist, ist:
    Abstand C zu A (quadriert): (x-0)2 + 12
    Abstand C zu B (quadriert): (x-2)2 + 52
    Beide Abstände sollen gleich sein, und die Lösung dieser Gleichung ergibt x=7.

  2. Aufgabe:
    Ist M.L.s Lösung OK? Ich hätte was komplizierteres anzubieten.

Olaf

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1.) Die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks seien M a
(1;2), M b (-3;0) und M c (3;-2). Ermitteln Sie die
Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreiecks!

Hallo,

zunächst solltest Du Dir folgenden Sachverhalt klarmachen:

Wann immer Du zwei Punkte P (px | py) und Q (qx | qy) hast, dann sind die Koordinanten des Punktes M (mx | my), der genau in der Mitte zwischen P und Q liegt, gegeben durch

mx = (px + qx)/2
my = (py + qy)/2

Damit kannst Du Deine Aufgabe leicht lösen. Es sei

T1 (x1 | y1) der gesuchte Dreieckspunkt, der A gegenüberliegt,
T2 (x2 | y2) der gesuchte Dreieckspunkt, der B gegenüberliegt,
T3 (x3 | y3) der gesuchte Dreieckspunkt, der C gegenüberliegt.

Dann muss für die x-Koordinaten gelten

ax = (x2 + x3)/2
bx = (x1 + x3)/2
cx = (x1 + x2)/2

und analog für die y-Koordinaten:

ay = (y2 + y3)/2
by = (y1 + y3)/2
cy = (y1 + y2)/2

Das sind zwei lineare Gleichungssysteme mit je drei Gleichungen für je drei Unbekannte, nämlich x1, x2, x3 bzw. y1, y2, y3. Die Rechnung zur Auflösung der beiden Systeme überlass ich Dir. Die Ergebnisse lauten:

x1 = –1, x2 = –7, x3 = –5
y1 = –4, y2 = 0, y3 = 4

Die Eckpunkte des Dreiecks sind damit

T1 (–1 | –4)
T2 (–7 | 0)
T3 (–5 | 4)

Mal es auf Millimeterpapier und überzeuge Dich davon, dass es stimmt. Dein Dreieck ist übrigens rechtwinklig-gleichschenklig, mit dem rechten Winkel in T1.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Hallo Olaf!

  1. Aufgabe:
    Ist M.L.s Lösung OK? Ich hätte was komplizierteres anzubieten.

Du kannst mir ja mal deine Lösung aufzeigen, ich schaue mir nämlich immer mehrere Lösungswege an, ist um des Lernen willens wirklich gut! Ich danke dir!

mfg

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z.B. könnten die Mittelpunkte schon die Eckpunkte des Dreiecks sein

*amkopfkratz*

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Du kannst mir ja mal deine Lösung aufzeigen, ich schaue mir
nämlich immer mehrere Lösungswege an, ist um des Lernen
willens wirklich gut!

Nö, Martins Lösung ist viel einfacher und eleganter.
Also nur die Idee: Wenn man die 3 gegebenen Mittelpunkte verbindet, erhält man ja auch ein (kleines) Dreieck. Und das ist dem gesuchten ähnlich - das sieht mal leicht durch die Strahlensätze. Jede Seite des kleinen Dreiecks ist zu einer Seite des gesuchten Dreiecks parallel. Man könnte damit also die Anstiege der drei Dreiecksseiten ausrechnen, dann deren Geradengleichungen, dann deren Schnittpunkte … und schon hätte mans raus!
Schöne Aufgabe aber. Gymi oder Uni?

Olaf

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Schöne Aufgabe aber. Gymi oder Uni?

Wenn du meinst! Gymi, letztes Jahr!