Vektorrechnung

merhameh · 30. März 2003 um 14:34

Hallo,

ich hab da noch ein Beispiel mit dem ich nicht zurechtkomme. (Vektorrechnung ist ohnehin etwas, womit ich auf dem Kriegsfuß stehe.)

Von einem schiefen Prisma ABCDEFGH, dessen Grundfläche das Parallelogramm ABCD ist, kennt man A(0/0/0), B(3/-2/4), C(2/-2/0), F(7/3/7). Berechne die Eckpunkte D, E, die Höhe des Prismas und sein Volumen, den Fußpunkt P des Lotes von E auf die Basis ABCD.

Auf D(-1/0/4) und E(4/5/3) bin ich ja gekommen, aber die Höhe kann ich beim besten Willen nicht ausrechnen, wie ich zum Volumen komm’ weiß ich auch nicht.
Den Punkt P müsste ich dann ja mit dem Normalvektor und der Höhe ausrechnen können, oder?

Bitte um Hilfe!
merhameh

Dilda_8603d5 · 30. März 2003 um 16:38

Prismal
Hallo, merhameh,
Volumen von Prisma = Grundfläche*Höhe, weil, isscha einglich nur ein Spielkartenhaufen, den man schiefgestoßen hat.
Dazu brauchst du logisch die Grundfläche (dürfte ja wohl kein Problem sein, oder?) und v.a. die Höhe.
Für diese benutzt du das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor, also zB den vom Punkt F bis zu seinem noch unbekannten Fußpunkt auf der unteren Ebene ABCD mal (nacheinander) die beiden Richtungsvektoren der Ebene (zB A-B und A-C, die stehen ja beide senkrecht auf dem NV; Skalrprodukt also =0), errechnest so diesen Fußpunkt, aus dem und F dann den Normalenvektor, und dessen Länge ist h!!!
Genauso berechnet man ja auch den Abstand eines Punktes von einer Gerade/Strecke, was du für die Fläche brauchst.
Bloß rechnen mußt du nu sölben!

Gruß, moin, manni

Mehr maher nich…

anonym1_502ae7 · 30. März 2003 um 17:25

Skalar- und Vektorprodukt
Hallo Merhameh,

Also ich hab hier ein paar Formeln:

Flächeninhalt A eines Dreiecks ABC:

A = 1/2 * BETRAG(VEKTOR(AB) X VEKTOR(AC))

Das lässt sich leicht modifizieren für ein PAralleleogramm, da
ein solches aus
zwei solchen Dreiecken besteht:

Flächeninhalt A eines Parallelograms ABCD

A = BETRAG(VEKTOR(AB) X VEKTOR(AC))

Warum ist das so? Für den Betrag des Kreuzproduktes gilt:

BETRAG(a X b) = BETRAG(a) * BETRAG(b) * sin(phi1)

a und b sind Vektoren und phi1 der Winkel dazwischen. Damit
gibt
BETRAG(b) * sin(phi1)
gerade die Höhe des Parallelogramms an, das von den Vektoren a
und b gebildet
wird.

Jetzt gehts weiter:

a X b

ist also ein Vektor, der auf dem Parallelogram senkrecht steht
uznd dessen Länge
der Fläche des Parallelogramms entspricht.

Jetzt kommt der Vektor c ins Spiel, der aus dem Parallelogramm
ein schiefes
Prisma macht. Wie kriege nun die Höhe des des Prismas raus. Die
Höhe wird
parallel zum Vektor (a X b) gemessen. Wie weit ich in dieser
Richtung messen
muss, gibt aber c an.

Dazu ist das Skalarprodukt gut:

d . c = BETRAG(d) * BETRAG© * cos(phi2)

phi2 ist der Winkel zwischen d und c
Dabei ist aber der Teil

BETRAG© * cos(phi1)

gerade so lang, wie c in Richtung von d zeigt. Wenn d also in
richtung der Höhe
zeigt, und c ein Vektor zwischen Ober- und Unterseite ist, dann
ist

BETRAG© * cos(phi1)

gerade die Höhe.

Wenn ich für d nun (a X b) einsetze, dann ist BETRAG(a X b) ja
die Grundfläche
und

ist dann Grundfläche * Höhe, also das Volumen des Prismas.

Für obige Zeile kann ich noch einfacher schreiben:

V = (a X b) . c

Der Punkt soll für das Skalarprodukt stehen und X für das
Vektorprodukt.

Kommst Du jetzt auf die Höhe selbst?

Viele Grüße
Stefan

Martin · 31. März 2003 um 12:27

Hallo Stefan

Für obige Zeile kann ich noch einfacher schreiben:

V = (a X b) . c

…und damit dieses Ding auch noch beim Namen genannt wird: Es heißt Spatprodukt. „Spat“ ist die präzisere Bezeichnung für das „Prisma“, von dem Merhameh sprach, also das 3D-Pendant zu einem Parallelogramm („schiefer Quader“).

Mit freundlichem Gruß
Martin