Vektorrechnung, Ebenen,Geraden und Co

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich habe nochmal ein paar Verständnisfragen, wäre nett ihr mir helfen könnt. Dann seid ihr mich auch los,schreibe morgen meine Arbeit. Wäre sehr sehr dankbar:

Es gut um folgenden Aufgabentypus:

Bestimme die gemeinsamen Punkte von

E=[2/1/4)+r*(-1/3/0)+s*(6/-2/1) und g=(0/3/1)+t(4/4/1)

Ich wüsste jetzt nur wie man den Schnittpunkt ausrechnet. Aber es muss ja angeblich noch mehr Punkte geben. Bloß das Problem ist: Die sind parallel,genau wie die andere Aufgabe die ich zu diesem Aufgabentyp habe.

Aber was wäre WENN die nicht parallel sind. Wenn die sich nur schneiden, dann ist doch der Schnittpunkt der einzige Punkt der gemeinsam mit der Ebene ist oder?

Und wenn sie gleich sind, ja dann ist es jeder oder nicht?

Wie gehe ich da ran? Würde r, s und t ausrechnen und dann? Wie geht man da vor?

Liegt die Gerade g(6/0/4)+s(4/-1/5) in der Ebene r=(2/0/1)+Lambda*(4/1/1)+Mü(0/-1/2) ?

Wie mache ich das? Ich rechne Lambda, Mü und s aus und setze sie in meine I , II, III ein und gucke ob die alle aufgehen. Würde die dann in der Ebene liegen? Oder reicht es schon, wenn ich den Schnittpunkt ausrechne und sage: Liegt in der Ebene, weil die sich schneiden ?

Wie bei 2 bloß nicht mit ner Gerade, sondern mit einem Punkt, ob der in einer Ebene liegt.

Ich habe Mü und Lambda der Ebene ausgerechnet indem ich die Ebenengleichung mit dem Punkt gleichgesetzt habe zusätzlich. Dann in meine I,II,III eingesetzt und geguckt ob das alles aufgeht. Geht alles in dem Fall auf, habe ich dann somit bewiesen das der Punkt in der Geraden liegt?

In der Schule haben wir es anders gemacht, da haben wir die Ebenegleichung in Koordinatenform umgerechnet und dann einfach den Punkt eingesetzt.

Gibt verschiedene Wege oder?

  1. Wofür stehen eigentlich Lambda,s,r oder Mü? Vervielfältigung eines Vektors?

  2. Was ist eine Parameterbedingung? Wir hatten eine Aufgabe wo man die Parameterbedingung für AB,BC und AC (Dreieck) aufstellen sollte. Mein Lehrer meinte Lambda=1
    Soll das bloß sagen wie die Einheiten sind von A nach B? Wäre das dann nicht immer 1?

Ist viel ich weiß, wäre aber für jede Antwort sehr sehr dankbar!!!

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Hallo,

Es gut um folgenden Aufgabentypus:

Bestimme die gemeinsamen Punkte von

E=[2/1/4)+r*(-1/3/0)+s*(6/-2/1) und g=(0/3/1)+t(4/4/1)

Ich wüsste jetzt nur wie man den Schnittpunkt ausrechnet. Aber
es muss ja angeblich noch mehr Punkte geben. Bloß das Problem
ist: Die sind parallel,genau wie die andere Aufgabe die ich zu
diesem Aufgabentyp habe.

Aber was wäre WENN die nicht parallel sind. Wenn die sich nur
schneiden, dann ist doch der Schnittpunkt der einzige Punkt
der gemeinsam mit der Ebene ist oder?

Ja.

Und wenn sie gleich sind, ja dann ist es jeder oder nicht?

Auch ja.

Wie gehe ich da ran? Würde r, s und t ausrechnen und dann? Wie
geht man da vor?

Genauso: du setzt gleich und versuchst, das entstehende Gleichungssystem zu lösen. Ist es eindeutig lösbar, erhältst du also für deine 3 Parameter jeweils genau eine Lösung, dann existiert ein Schnittpunkt, den du erhältst, wenn du die Lösung für den Geradenparameter in die Geradengleichung einsetzt (oder die Lösungen für die beiden Ebenenparameter in die Ebenenegleichung, aber das ist mehr Arbeit). Ist das System unlösbar (wenn du einen Widerspruch erhältst, z.B. 0 = 5 oder sowas), dann existiert kein Schnittpunkt, also sind Ebene und Gerade parallel.
Erhältst du nicht genau eine sondern unendlich viele Lösungen ( wenn also sowas wie 0=0 auftritt und die verbleibenden Gleichungen keinen Widerspruch produzoeren), dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte, die Gerade liegt in der Ebene.

Liegt die Gerade g(6/0/4)+s(4/-1/5) in der Ebene
r=(2/0/1)+Lambda*(4/1/1)+Mü(0/-1/2) ?

Wie mache ich das? Ich rechne Lambda, Mü und s aus und setze
sie in meine I , II, III ein und gucke ob die alle aufgehen.
Würde die dann in der Ebene liegen? Oder reicht es schon, wenn
ich den Schnittpunkt ausrechne und sage: Liegt in der Ebene,
weil die sich schneiden ?

Siehe oben. Wenn sowas wie Lambda = 3, My = 5 und = 2 rauskommt ist das System eindeutig lösbar und es gibt genau einen Schnittpunkt. Dann liegt die Gerade nicht in der Ebene, weil sie nur einen gemeinsamen Punkt haben.

Wie bei 2 bloß nicht mit ner Gerade, sondern mit einem Punkt,
ob der in einer Ebene liegt.

Ich habe Mü und Lambda der Ebene ausgerechnet indem ich die
Ebenengleichung mit dem Punkt gleichgesetzt habe zusätzlich.
Dann in meine I,II,III eingesetzt und geguckt ob das alles
aufgeht. Geht alles in dem Fall auf, habe ich dann somit
bewiesen das der Punkt in der Geraden liegt?

In der Schule haben wir es anders gemacht, da haben wir die
Ebenegleichung in Koordinatenform umgerechnet und dann einfach
den Punkt eingesetzt.

Gibt verschiedene Wege oder?

ja. Wenn du den Ortsvektor des Punktes für x-Vektor in die Ebenengleichung einsetzt bekommst du drei Gleichungen mit 2 Variablen. Aus 2 Gleichungen die beiden Variablen bestimmen und in die 3. einsetzen und gucken ob’s stimmt. Wenn ja,liegt der Punkt drin, wenn nein nicht. Mit der Koordinatengleichung geht es einfacher, aber so geht’s auch :=)

  1. Wofür stehen eigentlich Lambda,s,r oder Mü?
    Vervielfältigung eines Vektors?

  2. Was ist eine Parameterbedingung? Wir hatten eine Aufgabe wo
    man die Parameterbedingung für AB,BC und AC (Dreieck)
    aufstellen sollte. Mein Lehrer meinte Lambda=1
    Soll das bloß sagen wie die Einheiten sind von A nach B? Wäre
    das dann nicht immer 1?

Ich nehme an, damit ist folgendes gemeint: Die Seiten des Dreiecks sind als Geraden berechnet, aber es sind ja Strecken, also ist natürlich nicht die ganze Gerade Dreiecksseite. Wenn z.B. eine Gerade die Gleichung x = a + t*AB (alles Vektoren, gell!) hat, liegen diejenigen Punkte auf der Strecke AB, die du für t aus [0;1] erhältst. Zeichne das mal im R2, dann siehst du schon…

Ist viel ich weiß, wäre aber für jede Antwort sehr sehr
dankbar!!!

Gruß Orchidee

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hi,

Bestimme die gemeinsamen Punkte von

E=[2/1/4)+r*(-1/3/0)+s*(6/-2/1) und g=(0/3/1)+t(4/4/1)

das eine (E) ist eine ebene, das andere (g) eine gerade. entweder haben sie keinen punkte gemeinsam (echt parallel), oder einen punkte (den schnittpunkt), oder unendlich viele (nämlich die gesamte gerade g, die dann in E liegt; auch das ist ein fall von „parallelität“.)

Ich wüsste jetzt nur wie man den Schnittpunkt ausrechnet. Aber
es muss ja angeblich noch mehr Punkte geben. Bloß das Problem
ist: Die sind parallel,genau wie die andere Aufgabe die ich zu
diesem Aufgabentyp habe.

Aber was wäre WENN die nicht parallel sind. Wenn die sich nur
schneiden, dann ist doch der Schnittpunkt der einzige Punkt
der gemeinsam mit der Ebene ist oder?

Und wenn sie gleich sind, ja dann ist es jeder oder nicht?

Wie gehe ich da ran? Würde r, s und t ausrechnen und dann? Wie
geht man da vor?

beweise die parallelität. z.b. indem du den normalvektor zur ebene bildest (kreuzprodukt der richtungsvektoren) und dann zeigst, dass er auch zum richtungsvektor der geraden normal ist (skalarprodukt gleich 0). und dann zeigst du, dass ein einziger punkt von g nicht in E liegt (z.b. (0/3/1)).

oder: du zeigst, dass kein einziger punkt der geraden durch die ebene erreicht werden kann, dass also das gleichungssystem E = g aus den 3 gleichungen mit den variablen r, s und t keine lösung hat.

(wenns eine lösung hat: schnittpunkt; wenns unendlich viele lösungen hat: g in E enthalten)

Liegt die Gerade g(6/0/4)+s(4/-1/5) in der Ebene
r=(2/0/1)+Lambda*(4/1/1)+Mü(0/-1/2) ?

Wie mache ich das? Ich rechne Lambda, Mü und s aus und setze
sie in meine I , II, III ein und gucke ob die alle aufgehen.
Würde die dann in der Ebene liegen? Oder reicht es schon, wenn
ich den Schnittpunkt ausrechne und sage: Liegt in der Ebene,
weil die sich schneiden ?

so wie oben.
hat g = E unendlich viele lösungen, liegt g in E.
bei einer lösung: schneidend
bei keiner lösung: echt parallel

Wie bei 2 bloß nicht mit ner Gerade, sondern mit einem Punkt,
ob der in einer Ebene liegt.

Ich habe Mü und Lambda der Ebene ausgerechnet indem ich die
Ebenengleichung mit dem Punkt gleichgesetzt habe zusätzlich.
Dann in meine I,II,III eingesetzt und geguckt ob das alles
aufgeht. Geht alles in dem Fall auf, habe ich dann somit
bewiesen das der Punkt in der Geraden liegt?

wenn es ein lambda und ein my gibt, die diesen punkt geben, dann ja.

In der Schule haben wir es anders gemacht, da haben wir die
Ebenegleichung in Koordinatenform umgerechnet und dann einfach
den Punkt eingesetzt.

Gibt verschiedene Wege oder?

  1. Wofür stehen eigentlich Lambda,s,r oder Mü?
    Vervielfältigung eines Vektors?

die parameter.
ja. sozusagen. eine gerade hat einen festen punkt (da kommen alle punkte der geraden in frage) und eine richtung. man denkt sich vom festen punkt aus geht man vielfache des richtungsvektors weiter.

bei einer ebene sinds 2 richtungsvektoren in verschiedene richtungen.

  1. Was ist eine Parameterbedingung? Wir hatten eine Aufgabe wo
    man die Parameterbedingung für AB,BC und AC (Dreieck)
    aufstellen sollte. Mein Lehrer meinte Lambda=1
    Soll das bloß sagen wie die Einheiten sind von A nach B? Wäre
    das dann nicht immer 1?

wort „parameterbedingung“ ist mir neu. weiß nicht, was dein lehrer damit meint.

Ist viel ich weiß, wäre aber für jede Antwort sehr sehr
dankbar!!!

howgh.
m.