Hallo!
Bei einer Stammtisch-Diskussion, bei der es eigentlich um eine Semiprofi-Tischkreissäge ging, kam folgende Frage auf: Angenommen, man will eine Lautsprecherbox in Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche bauen. Das Quadrat habe die Seitenlänge a und die Höhe der Pyramide sei h. Welchen Gehrungswinkel muss man an der Kreissäge einstellen, um die Seitenteile zu fertigen. Es interessiert nur der Winkel an den Seiten, nicht an der Grundseite.
Einige meinten, da alle 4 Seiten gleich sind und die Winkelsumme 360º geben muss, sind alle 4 Winkel 90º und der Gehrungswinkel demnach 45º, egal wie hoch die Pyramide ist.
Meine Argumentation war: Das mit den 90º Winkeln stimmt nur für einen Schnitt parallel zur Grundfläche. Da beim Sägen der Seitenteile die Bretter aber nicht in der Winkelposition durch die Säge geschoben werden, wie sie in der Pyramide stehen, muss der Winkel ein anderer sein. Der muss abhängig sein vom Verhältnis von a zu h. Dazu eine Betrachtung der 2 Extremfälle. Ist die Pyramide „unendlich“ hoch, dann stehen die Seitenteile senkrecht. Die Gehrungswinkel sind 45º, so wie bei Fußbodenleisten. Anderer Extremfall, die Höhe ist null. Die Seitenteile liegen flach auf der Grundfläche. Die Kanten sind senkrecht zu sägen, also kein Gehrungswinkel. Für alle anderen Fälle, die zwischen diesen Extremen liegen muss das Sägeblatt zwischen 0º und 45º geneigt werden.
Einige Architekten, die in der Runde waren gaben mir recht, konnten aber auch nicht sagen wie man diesen Winkel berechnet. Einige beharrten auf der 45º-Geschichte.
Alle etwas naturwissenschaftlich Angehauchten meinten, das müsste man mit Vektorrechnung raus kriegen. Da aber bei allen die letzte Konfrontation mit Vektorrechnung ein paar Jahrzehnte her ist, kamen wir zu keinem Ergebnis.
Vielleicht ist es ganz einfach, und wir sehen nur den Wald vor lauter Bäumen nicht. Kann uns da jemand helfen?
Besten Dank schon mal.
Liebe Grüße,
Thomas.
Hallo Thomas,
laß mal die Vektoren Vektoren sein und bediene Dich der einfachen Geometrie.
Du hast eine Pyramide mit der Grundfläche ABCD (Quadrat)und dem Diagonalenschnittpunkt F sowie der Spitze S.
Betrachte nun das Dreieck SFB, fälle von F das Lot auf SB und bezeichnen den Fußpunkt mit G. Die Länge der Strecke GB kannst Du ausrechnen aus Seitenlänge und Höhe.
Du hast nun ein Dreieck AGC, das eine Ebene aufspannt, auf der die Mantellinie SB senkrecht steht und in dem bei G der doppelte (!) Gehrungswinkel ist.
Viel Spaß beim Rechnen
und Gruß an den Stammtisch, besonders an die Herren Architekten!
Cassius
Hallo Thomas!
Der Winkel, in dem die Flächen zueinander stehen, ist
arccos(a²/(4h²+a²));
der Gehrungswinkel (wenn ich das Wort richtig verstanden habe) sollte also die Hälfte von diesem Wert sein.
Es geht natürlich mit Vektorrechnung. Dazu muss ich meine Pyramide erst einmal in ein Koordinatensystem packen. Der Ursprung ist bei mir im Mittelpunkt der Grundfläche. Dann sind die Koordinaten der Eckpunkte der Grundfläche gegeben durch
(±a/2,±a/2,0),
und die Spitze ist in (0,0,h).
Nun muss ich die Seitenflächen irgendwie beschreiben. Dazu betrachte ich zwei Vektoren, die diese Fläche aufspannen. Zwei benachbarte Flächen werden z.B. aufgespannt von
(a/2,a/2,h) und (±a/2,-+a/2,h).
Wenn ich jetzt den Winkel zwischen diesen Flächen bestimmen will, brauche ich dazu die Flächennormalen, also Vektoren, die senkrecht auf der Fläche stehen. Am einfachsten berechne ich diese übers Kreuzprodukt.
(a/2,a/2,h)x(a/2,-a/2,h)=(ah,0,-a²/2); (a/2,a/2,h)x(-a/2,a/2,h)=(0,ah,a²/2).
Der Kosinus aus dem Schnittwinkel ist nun der Betrag vom Skalarprodukt der Vektoren geteilt durch das Produkt der beiden Normen. Die Norm ist jeweils Wurzel(4h²+a²), das Skalarprodukt ist -a². So komm ich auf o.g. Formel.
Setzt man übrigens h=0 ein, so steht dort arccos(a²/a²)=arccos(1)=0°; und für h=unendlich ergibt sich arccos(a²/unendlich)=arccos(0)=90°,
also genau das, was Du erwartet hast.
Liebe Grüße
Immo
Vielen Dank!
Genau sowas habe ich gesucht!
Liebe Grüße,
Thomas.
HAllo Cassius!
Danke für die Antwort. Aber das ist keine Lösung, sondern nur eine geometrische Beschreibung des von mir geschilderten Problems. Werde die Herren Architekten trotzdem Grüßen.
Liebe Grüße,
Thomas.