Vektorrechnung (Lösungsvergleich)

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Abend www’ler!
Ich war grad dabei Extraaufgaben zum Thema Vektorrechnung zu lösen, um sicherer damit zu sein.

Ich hätte da 2 Aufgaben, die ich schon gelöst habe, wollte jedoch die Lösungen mit jemandem vergleichen, der sicher in diesem Gebiet ist.

Ein Fotograf will die Spitze eines Leuchtturms ablichten.
Grundkante/Höhe der quadratischen Säule des Leuchtturms= 5m/15m
5 m über der Mitte des Dachbodens ist die Dachspitze.
Kamera ist auf einer Höhe von 1,7m.
Wie weit muss der Fotograf mindestens von der Mitte der Seitenwand entfernt sein, um die Spitze zu fotografieren?

In einer Festhalle soll ein Lichtspot im Punkt P(9|1|0) verankert. Sein Licht strahlt er in folgende Richtung ab : v=(4/4/3) (soll ein vektor sein, weiß jedoch nicht den Latex code dafür).
Trifft der Lichtstrahl auf die Balken mit den Endpunkten A(1|2|0) und B(9|4|2)?

MEINE LÖSUNGEN:
1.
die Spitze liegt im Punkt: A (2,5|2,5|20)
Die Mitte der Kante der Dachschräge (über die der Fotograf erstmal rüberschauen muss) liegt im Punkt B(2,5|5|15)

Jetzt dachte ich mir, dass ich den Vektor von AB ausrechne also (vektor B - vektor A)= (0|2,5|-5)
Gesucht ist ja die Entfernung von dem Gebäude d.h. entweder man muss den x oder y wert rausbekommen. Da der x wert gegeben ist durch (Wie weit muss der Fotograf mindestens von der „Mitte“ der Seitenwand entfernt sein), muss man folgendes in die geradengleichung
g: vektor(x) = Ortsvektor + Skalar * Richtungsvektor
einsetzen:
Punkt B als Ortsvektor und (0|2,5|-5) als Richtungsvektor einsetzen
und für vektor(x) (2,5|y|1,7).
Nun den Skalar ermitteln, indem man ein LGS für die z-werte aufstellt:

I. 15 - 5 \cdot k = 1,7

k=2,66

dann k in die obere Gleichung einsetzen und raus kommt:
(2,5|11,65|1,7)

Diese Aufgabe schien mir viel zu simpel…
einfach alles in die Gleichung einsetzen außer den Skalar und dann vergleichen, ob der Skalar bei jedem LGS gleich ist, was bei keinem der Fall ist. Kann das sein?

Also weder A noch B sind Element von g

#2

Zu 1.:
Wenn das für die Schule ist, würde ich dem Lehrer diesen ganzen Vektor-Kram um die Ohren hauen und den einfachen Weg nehmen…
Die Aufgabe sucht ja offenbar einen Punkt in einer Höhe von 1,7m, sodass er mit Dachrand und Dachspitze auf einer Linie liegt.
Diese Linie nimmt man einfach mal als Graphen einer linearen Funktion h.
Das Dach hat eine Steigung von 2 (Bei x am Dachrand ist h(x) = 15, an der Dachspitze h(x+2,5) = 20 = h(x) + 2*2,5).
Der Höhenunterschied vom Dachrand zur Kamera ist 13,3m, also liegt die Entfernung bei 6,65m.

Hilft zwar nicht, mit Vektoren zu üben, kann aber als Vergleichswert genutzt werden, wenn ich mich nirgendwo vertan habe.

mfg,
Ché Netzer

#3

Anfangs hatte ich auch die 6,65. Hab aber gesehen, dass ich den Ortsvektor in der Gleichung nicht beachtet habe, was wie mir nach deinem Beispiel auffällt auch richtig war!
Da die Grundkante ja 5m ist muss ich von den 5 metern ausgehen und 6,65m weitergehen um auf die 11,65 zu kommen. Diese 11,65 ist ja die Angabe im Koordinatensystem. Der Abstand vom Haus zu der Kamera ist jedoch, wie du schon gesagt hast, 6,65!

Danke^^
PS: Leider ist der Lehrer nicht so gut, deswegen frage ich lieber hier. Er versteht zwar das Thema selbst, kann es jedoch nicht gut erklären :S.

Und Aufgabe 2 ist richtig?

#4

Bei Aufgabe 2 habe ich keine Ahnung; mit Vektoren hatte ich bisher kaum zu tun und möchte das bisher auch nicht ändern. Der Unterricht ist jetzt schon langweilig, dann darf er doch wenigstens in der Vektorrechnung etwas neues bieten können :wink:

mfg,
Ché Netzer

#5

Ok, danke trotzdem:smile:

Hab da aber noch eine Frage zu Aufgabe 1
Und zwar: h(x)=15, h(x+2,5)=20 und m= -2 , wenn man die eine Ecke in den Ursprung setzt.
Dabei ergibt sich folgende Gleichung für die Gerade:

h(x)= -2x +25

Da die Höhe der Kamera 1,7m ist setzt man in die Gleichung für h(x)=1,7 ein.

Dabei kommt man auf 11,65 aber man muss noch die Grundkante subtrahieren und man kommt auf die richtige Lösung 6,65.
Was hat da also dein letzter Satz mit der Aufgabe zu tun?
„Der Höhenunterschied ist 13,3m“

Die Aufgabe ist zwar gelöst, dennoch würde mich der Rechenschritt interessieren. :wink:

TS

#6

Vieel zu kompliziert :smile:
Denkst du, ich stelle da extra eine Gleichung auf? :wink:
Dass die Steigung 2 ist, ist wohl klar, oder?
Das heißt jetzt: Wenn man x Meter nach oben will, muss man x/2 Meter nach rechts (wenn der Fotograf links vom Turm steht).
Wenn man jetzt die 13,3 Meter Höhendifferenz zurücklegen will, muss man 13,3/2 Meter nach unten.

Das mit „h(x)= …“ war nur zur Erläuterung.

Den Ursprung kannst du meinetwegen in die Unendlichkeit legen oder aufessen :wink:

mfg,
Ché Netzer

#7

Genau…
War gestern etwas spät ^.^

Hab heute in der Schule nochmal kurz nachgedacht und bin selber drauf gekommen…wollte noch schreiben, dass es sich schon erledigt hat, aber du warst schneller :smile:
Danke trotzdem

mfg
TS