Hi
Ich stehe grade von einem etwas komplexeren Problem, und selbst in der Gruppe sind wir nicht auf den Lösungsweg gekommen.
Ein Parallelogramm mit den Eckpunkten
A(2;1;-1)
B(6;0;2)
C(0;2;-1)
D(4;1;2)
ist gegeben.
Es soll gezeigt werden ob der Punkt P(8;-1;2) innerhalb des Parallelogramms liegt.
Vielleicht kann ja jemand helfen?
tyia
RhoYia
Auch hallo.
Ein Parallelogramm mit den Eckpunkten
A(2;1;-1)
B(6;0;2)
C(0;2;-1)
D(4;1;2)ist gegeben.
Es soll gezeigt werden ob der Punkt P(8;-1;2) innerhalb des
Parallelogramms liegt.
Dazu müsste einer der Fixpunkte A,B,C,D plus einem Bewegungsvektor innerhalb des Parallelogramms den Punkt P ergeben.
Z.B. so (Fixpunkt C, Strecke von C nach A):
(0,2;-1) +t (C-A) = (0;2;-1) + t (-2;1;0)
Für ein bestimmtes t ergibt sich P (hier nicht -> anderes Beispiel…)
Bzw. man legt berechnet einen Vektor von einem der Fixpunkte zum Punkt P.
Oder ganz anders: man nimmt die Formel zum Abstand Ebene-Punkt. Wenn der Abstand 0 ist, liegt P nicht im Parallelogramm
HTH
mfg M.L.
Dazu müsste einer der Fixpunkte A,B,C,D plus einem
Bewegungsvektor innerhalb des Parallelogramms den Punkt P
ergeben.
Das ist soweit richtig, aber den Bewegungs(Richtungs?)vektor innerhalb des Parallelogramms kann man kaum finden, da die Menge der in Frage kommenden Richtungsvektoren gigantisch ist und man ständig neue Fixpunkte auf den Seiten des Parallelogramms ausrechnen müsste um daraus einen Richtungsvektor zu machen. Davon abgesehen: Es lässt sich auch für einen Punkt außerhalb des Parallelogramms ein Richtungsvektor finden der mit einem Fixpunkt addiert P ergibt.
http://img406.imageshack.us/img406/715/unbenannt16kg…
Demzufolge kann ich die Aufgabe dadurch nicht wirklich lösen.
Oder ganz anders: man nimmt die Formel zum Abstand
Ebene-Punkt. Wenn der Abstand 0 ist, liegt P nicht im
Parallelogramm
Das ist soweit zwar richtig, aber der Umkehrschluss auf den ich in der Aufgabe ja angwiesen bin, ist nicht gültig. Ist der Abstand nämlich 0, dann liegt P zwar auf der aufgespannten Ebene des Parallelogramms, aber kann durchaus außerhalb des Parallelogramms liegen. Ich beweise dadurch nur ob der Punkt auf „einer Höhe“ mit dem Parallelogramm liegt.
H wie Hola.
Spontan ohne Skizze gesprochen.
Ebenengleichung aufstellen und überhaupt erstmal schauen, ob der Punkt in der Ebene des Parallelogramms liegt. Tut er das nicht, bist Du schon durch.
Anschließend: Denk an die HESSEsche Normalenform für eine Hyperebene. Das Vorzeichen des Abstandes gibt (bspw.) Auskunft über die etwaige Lage eines Punktes bezüglich einer Halbebene, sicherlich etwas Rechnerei, denn Du müßest für alle vier Seiten feststellen, wo der Punkt liegt. Auf diesem Wege klappt es aber auf jeden Fall. Spontan fällt mir um die Uhrzeit auch nichts Beßres mehr ein, vielleicht die Tage noch. 
MfG
Hallo,
Das kann man prüfen, indem man z. B. den Vektor P-A betrachtet. Wenn dieser in der Ebene des Parallelogramms liegt, muß er eine Linearkombination von zwei (einander nicht gegenüberliegenden) Seitenvektoren des Parallelogramms sein, z. B. von B-A und D-A.
Dies wiederum ist dann der Fall, wenn es zwei Parameter c1 und c2 (reelle Zahlen, jeweils 0) gibt, so dass gilt:
P-A = c1 * (B-A) + c2 * (D-A)
Um zu sehen, ob die beiden Parameter existieren, gewinnt man aus dem Vektorgleichungssystem durch komponentenweise Betrachtung ein lineares Gleichungssystem und löst dieses nach c1 und c2 auf.
Wenn es keine Lösung gibt, Liegt P nicht in der Ebene des Parallelogramms.
Es bietet sich auch an, erst einmal zu überprüfen, ob die gegebenen Punkte überhaupt ein Parallelogramm bilden.
Sei z. B. P-A = c1 * (B-A) + c2 * (D-A).
P liegt genau dann innerhalb der Fläche zwischen den beiden Seitenvektoren, wenn zwei nichtnegative reelle Parameter c1 und c2 existieren, durch welche die Vektorgleichung erfüllt wird.
Wieder stellt man ein lineares Gleichungssystem auf und löst dieses nach c1 und c2 auf. Sind beide Lösungen positiv, liegt P innerhalb der Fläche zwischen den beiden Seitenvektoren.
Eine analoge Betrachtung muß nun noch für jeden der drei anderen Eckpunkte angestellt werden. P liegt genau dann innerhalb des Parallelogramms, wenn er viermal innerhalb der Fläche zwischen den jeweils anliegenden Seitenvektoren liegt.
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Hallo!
- wie schon einige geschrieben haben, muß zunächst
festgestellt werden, ob der Punkt P in der Ebene des
Parallelogramms ABCD liegt.Das kann man prüfen, indem man […]
P-A = c1 * (B-A) + c2 * (D-A)
Um zu sehen, ob die beiden Parameter existieren, gewinnt man
aus dem Vektorgleichungssystem durch komponentenweise
Betrachtung ein lineares Gleichungssystem und löst dieses nach
c1 und c2 auf.
einverstanden.
- Um nun zu überprüfen, ob P innerhalb des Parallelogramms
liegt, betrachtet man die Lage von P der Reihe nach in Bezug
auf jeden der vier Eckpunkte…
Warum so kompliziert?
P liegt genau dann in dem Parallelogramm, wenn das Gleichungssystem zwei Lösungen c1 und c2 hat und außerdem gilt:
0
Hi
P liegt genau dann in dem Parallelogramm, wenn das
Gleichungssystem zwei Lösungen c1 und c2 hat und außerdem
gilt:0
Super ! Ich habe es mir allgemein hergeleitet und diese mögliche Vereinfachung beim Parallelogramm ganz übersehen. Manchmal hat man wirklich Tomaten auf den Augen.
Man kann sich auch Schritt 1 sparen.
- Um nun zu überprüfen, ob P innerhalb des Parallelogramms
liegt, betrachtet man die Lage von P der Reihe nach in Bezug
auf jeden der vier Eckpunkte…Warum so kompliziert?
P liegt genau dann in dem Parallelogramm, wenn das
Gleichungssystem zwei Lösungen c1 und c2 hat und außerdem
gilt:0
Nein. Setze einmal c1=1 und c2=1.
Dann erhält man P-A = B-A + D-A.
Da ABCD ein Parallelogramm ist, gilt D-A = C-B.
Also gilt P-A = B-A + C-B. Dies ist äquivalent zu
P = B + C-B = C, also P=C. C liegt außerhalb des Dreieckes ABD.
Dann
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Im allgemeinen Fall, also wenn das Vieleck kein Parallelogramm ist, habe ich vorausgesetzt, daß das Vieleck konvex ist. Außerdem kann man sich im allgemeinen Fall bei n Ecken wahrscheinlich sogar auf (n+1)/2 Überprüfungsschritte (wenn n ungerade) bzw. auf n/2 Überprüfungsschritte (wenn n gerade) beschränken. Ich habe aber jetzt leider keine Zeit, dies genau herzuleiten und zu begründen.
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Im allgemeinen Fall, also wenn das Vieleck kein Parallelogramm
ist, habe ich vorausgesetzt, daß das Vieleck konvex ist.
Außerdem kann man sich im allgemeinen Fall bei n Ecken
wahrscheinlich sogar auf (n+1)/2 Überprüfungsschritte (wenn n
ungerade) bzw. auf n/2 Überprüfungsschritte (wenn n gerade)
beschränken. Ich habe aber jetzt leider keine Zeit, dies genau
herzuleiten und zu begründen.
Hallo,
für Punkt im Polygon gibt es einen viel einfacheren Ansatz:
Man braucht eine Gerade durch den Punkt, die das Polygon schneidet. Üblicherweise nimmt man eine Gerade parallel zur X-Achse, die schneidet das Polygon dann, wenn y des Punktes zwischen ymin und ymax der Polygonecken liegt - andernfalls ist die Frage schon beantwortet.
Man zählt die Anzahl der Schnittpunkte der Geraden mit den Polygonseiten. Liegen auf beiden Seiten des Punktes eine ungerade Anzahl davon, liegt der Punkt innerhalb.
Der Vorteil ist, dass die Form des Polygons (Konvexität) und der Umlaufsinn völlig wurscht sind. Für ein N-Eck muss man höchstens n-1 Schnittpunkte berechnen. Der einfachste Fall: ist das Polygon konvex, gibt es 0 oder 2 Schnittpunkte, ist einer auf jeder Seite, so liegt der Punkt innerhalb. Ist auch gut für Computer programmierbar und wird z.B. beim Raytracing verwendet.
Gruss Reinhard
Nein. Setze einmal c1=1 und c2=1.
Dann erhält man P-A = B-A + D-A.
Da ABCD ein Parallelogramm ist, gilt D-A = C-B.
Also gilt P-A = B-A + C-B. Dies ist äquivalent zu
P = B + C-B = C, also P=C. C liegt außerhalb des Dreieckes
ABD.
Oh man…
Ja natürlich… Diesen Schritt habe ich im Kopf nicht gemacht. Ich habe außer acht gelassen, dass D-A = C-B ist. Auf dem Hintergrund leuchtet mir natürlich auch die Linearkombination ein.
Ich hatte das Problem einen Punkt sagen wir auf C-B zu bestimmen wenn gilt:
P-A = c1 * B-A + c2 * D-A.
denn das ist mit dieser Formel korrekter Weise nicht möglich. Es muss natürlich lauten:
P-A = c1 * B-A + c2 * C-B.
Da D-A = C-B ist ist das natürlich gegeben, da man die Formel schnell umschreiben kann.
Jetzt kommt mir aber gleich die nächste Frage… Woher weiß ich welche Vektoren ich für die Formel benutzen muss? Wahrscheinlich blubber ich jetzt Schwachsinn, aber da die Position von P unbekannt ist, kann ich auch nicht sagen welche Vektoren für die Linearkombination richtig wären oder? Ich gebe mal ein Beispiel.
Wenn P auf C-D liegt, dann würde sich P-A nur als Linearkombination aus D-A und C-D darstellen lassen, nicht aber als Kombination aus B-A und C-B.
Oder?
