Hallo,
schreibe bald Matheklausur und komme mit folgender Aufgabe nicht klar:
Gegeben ist E:x = (1;0;-2) + α (4;0;1) + ß (0;1;2).
a) Welchen Abstand von E haben die Punkte O (0;0;0)und A(1;0;-2)?
b) Berechnen Sie die Fußpunkte der Abstandslote auf die Ebene.
Aufgabe a) war leicht zu lösen, jedoch verstehe ich Aufgabe b) nicht.
Bitte um rasche Hilfe und danke bereits im vorraus.
Hallo,
b) Berechnen Sie die Fußpunkte der Abstandslote auf die Ebene.
es sollen hier die Schnittpunkte der Ebene mit den Loten der Punkte auf die Ebene berechnet werden. Ein Lot steht senkrecht auf der Ebene und geht zum jeweiligen Punkt.
Grüße,
semjorka
Könnten Sie mir bitte einen kompletten Lösungsweg angeben, da ich hier absolut nicht durchsteige? Wie sieht den eine Lotgerade eines Punktes aus? muss ich als Richtungsvektor denjenigen Vektor wählen, der als Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren der Ebene 0 ergibt? wenn ja was nehme ich dann als Aufhängepunkt, etwa den Punkt von dem aus ich das Lot aufziehe?
Vielen Dank übrigens für Ihre schnelle Antwort
Hallo,
Muss ich als Richtungsvektor denjenigen Vektor wählen, der als :Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren der Ebene 0 ergibt?
Ja, das ist richtig. Wir suchen uns zuerst einen beliebigen Normalenvektor. Dieser steht auf der Ebene senkrecht. Das Skalarprodukt des Normalenvektors und den Richtungsvektoren der Ebene ist also Null.
Wir basteln uns also die Gleichungen ( steht für Skalarprodukt)
=0
=0
und lösen das Gleichungssystem, dass wir daraus bekommen. (x,y,z) ist der Normalenvektor.
[…]als Aufhängepunkt, etwa den Punkt von dem aus ich das Lot :aufziehe?
Genau, das ist auch richtig, denn das Lot ist ja auf den jeweiligen Punkt bezogen.
Wenn du den Normalenvektor berechnet hast, dann stellst du zuerst die Gleichung der Lotgeraden des jeweiligen Punktes auf. Diese sieht so aus (beispielsweise für Punkt A):
g=(1,0,-2)+r(x,y,z)
(g ist ein Vektor und (x,y,z) der Normalenvektor)
Wenn die Gleichungen der Lotgeraden aufgestellt sind, muss nur noch der Schnittpunkt der jeweiligen Geraden mit der Ebene berechnet werden.
Vielen Dank übrigens für Ihre schnelle Antwort
Nichts zu danken 
Viele Grüße
Hossa
Gegeben ist E:x = (1;0;-2) + α (4;0;1) + ß (0;1;2).
Bei dieser Aufgabe bruachst du den Normalenvektor der Ebene. Um ihn zu bestimmen, nimmst du einfach das Kreuz-Produkt von zwei Vektoren, die innerhalb der Ebene liegen und normierst es. Zwei Vektoren, die sicher in der Ebene liegen, sind die Richtungsvektoren, und ihr Kreuzprodukt ergibt:
\left(\begin{array}{c}4\0\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\1\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot2-1\cdot1\1\cdot0-4\cdot2\4\cdot1-0\cdot0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\-8\4\end{array}\right)
Um die Länge dieses Vektors zu erhalten, quadrierst du alle Komponenten, addierst sie und ziehst aus der Summe die Wurzel:
\sqrt{(-1)^2+(-8)^2+4^2}=\sqrt{81}=9
Damit lautet der Normalenvektor der Ebene:
\vec n=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}-1\-8\4\end{array}\right)
Theoreitsch gibt es zwei mögliche Normalenvektoren. Der eine zeigt vom Urpsrung zur Ebene hin und der andere von der Ebene in Richtung Ursprung. Ich weiß nicht, ob dein Lehrer irgendeine Konvention getroffen hat, welcher zu nehmen ist…
a) Welchen Abstand von E haben die Punkte O (0;0;0)und
A(1;0;-2)?
Der Abstand von A ist trivial, da der Punkt A in der Ebene liegt. Also ist sein Abstand von der Ebene gleich Null.
Zur Berechnung des Abstandes d der Ebene vom Ursprung nimmst du irgendeinen Punkt aus der Ebene, z.B. X(1;0;-2), und bildest das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor:
d=\left|\vec n\cdot\vec x\right|=\left|\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}-1\-8\4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\0\-2\end{array}\right)\right|=\left|\frac{1}{9}\left(-1\cdot1-8\cdot0+4\cdot(-2)\right)\right|=|-1|=1
Der Abstand von der Ebene zum Ursprung beträgt also genau 1 LE. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der obige Normalenvektor von der Ebene zum Urpsrung zeigt.
b) Berechnen Sie die Fußpunkte der Abstandslote auf die Ebene.
Von einem Punkt A aus wird also ein Lot auf die Ebene E gefällt. Am Fußpunkt F trifft das Lot senkrecht auf die Ebene. Der Vektor vom Ursprung zum Punkt A sei a.
Eigentlich muss man nur wissen, wie weit der Punkt A von der Ebene entfernt ist (senkrechter Abstand). Diese Entfernung multipliziert man mit dem Normalenvektor (der ja die Länge 1 hat) und addiert das Ergebnis zum Vektor a.
Wir brauchen als erstes einen Vektor von A zu irgendeinem Punkt der Ebene E. Als Punkt der Ebene nehmen wir wieder X(1;0;-2). Um von A dorthin zu gelangen, geht man zunächst zum Ursprung zurück (minus a) und vom Ursprung zum Punkt X (plus x). Also gilt:
\overrightarrow{AX}=\vec x-\vec a
Dieser Vektor wird auf den Normalenvektor projeziert:
\lambda=\vec n\cdot\overrightarrow{AX}=\vec n\cdot(\vec x-\vec a)=\vec n\cdot\vec x-\vec n\cdot\vec a=-1-\vec n\cdot\vec a=-(1+\vec n\cdot\vec a)
Das Skalarprodukt aus n*x haben wir oben bereits zu -1 berechnet.
Vom Punkt a aus muss man nun lambda-mal den Normalenvektor in Richtung Ebene gehen, um zum Fußpunkt F zu gelangen:
\vec f=\vec a+\lambda\vec n=\vec a-\left(1+\vec n\cdot\vec a\right)\vec n
Viele Grüße
Hasenfuß