Mit welcher mathematischen Methode kann man sehr einfach zwei qudratische Kurvenabschnitte verbinden, ohne hässliche Beulen zu erhalten?
Die Verbindung sollte möglichst nicht höher 2. Ordnung sein.
Beispiel: 2 qudratische Kurvensekmente, die auf der Y-Achse versetzt sind und sich im Wertebereich der X-Achse sich teilweise überdecken sollen verbunden werden.
Einfachste Methode: prozentualer Übergang Start der Überdeckung 100% des Y-Wertes vom 1. Kurvensekment. Mitte der Überdeckung 50% des Y-Wertes der 1. Kurve plus 50% des Y-Wertes der 2 . Kurve. Am Ende der Überdeckung 100% des y-Wertes der 2. Kurve.
Da hier die Vektorrichtung am Endpunkt der Kurve nicht beachtet wird gibt es häßliche Beulen.
Da dieses Thema ja in jedem CAD-System schon gelöst ist, hoffe ich sich zu dems Thema eine einfache Lösung gibt.
Einfachste Methode: prozentualer Übergang Start der
Überdeckung 100% des Y-Wertes vom 1. Kurvensekment. Mitte der
Überdeckung 50% des Y-Wertes der 1. Kurve plus 50% des
Y-Wertes der 2 . Kurve. Am Ende der Überdeckung 100% des
y-Wertes der 2. Kurve.
Da hier die Vektorrichtung am Endpunkt der Kurve nicht
beachtet wird gibt es häßliche Beulen.
Wie wär’s mit sin²(½π(x-a)/(e-a))·f1(x)+cos²(½π(x-a)/(e-a))·f2(x)?
Beispiel: 2 qudratische Kurvensekmente, die auf der Y-Achse
versetzt sind und sich im Wertebereich der X-Achse sich
teilweise überdecken sollen verbunden werden.
Hmm, kann ich mir gerade nicht so vorstellen, aber Du möchtest, dass die eine Kurve abbiegt, einen Bogen schlägt und dann die andere trifft, dabei sollen bei den Übergängen keine Knicke auftreten, sondern alles soll glatt aussehen, richtig?
Ich denke, da kommst Du mit einem Polynom zweiten Grades nicht aus, das Stichwort, das mir dazu einfällt ist als erstes „Hermite Interpolation“, dabei werden die beiden Punkte, an denen die Kurven verbunden werden sollen und die ersten Ableitungen interpoliert. Das dürfte ein Polynom fünften Grades werden.
Andere Möglichkeit wären Splines. Splines sind abschnittsweise Polynome dritten Grades, da musst Du Dir noch einen Punkt dazwischen suchen, wo die Verbindung durchgehen soll.
Hallo, norbert, wahrscheinlich suchst du eine möglichst „runde“ „Gesamtfunktion“ minimalmögsten Grades.(?)
Die von dir erwähnten "Lösungen i.j. CAD-System sind mir unbekannt, aber ich würde zunächst einmal von einer kleineren Zahl von „Punkten der zu findenden Funktion ausgehen“, und zwar eben markante „Gelenkpunkte“ aus den beiden Parabelteilen, die zu verbinden sind mitsamt dem „mittleren“ Punkt. Dann nach Lagrange´s Interpolationsverfahren oder nach dem Newtonschen vorgehen. LÖetzteres hat den Vorteil, daß man sozusagen „Punkt-für-Punkt“ aufbauend „korrigieren/zurechtbiegen“ kann.
Zitat aus Heuser, Analysis, S. 130: „Der Newtionsche Ansatz hat ferner die Annehmlichkeit, daß die bereits ermittelten ak (Koeffizienten) unveändert erhalten bleiben, wenn man das Interpolationspolynom N nachträglich durch Hinzunahme weiterer `Stützstellen´ verlängert“.
Wenn ein Extremwert der Endfunktion aber schon abzusehen ist, kann man natürlich erst einmal mit einer Ableitungsfunktion anfangen und die punkt-treu aufleiten.
Ich verstehe nicht, was du mit folgendem sagen willst:
„Die Verbindung sollte möglichst nicht höher 2. Ordnung sein.“
Suchst du eine Funktionsgleichung nur für das Verbindungsstück, oder für die zu erhaltende Gesamtfunktion?
Außerdem hängt natürlich auch viel davon ab, wie die beiden Ausgangsteile (auch zueinander) gekrümmt sein tun.
Vielleicht versteht allerdings einer der Experten hier besser als ich was du suchen tust (do you?) und hat weisere >Raatschläge, denn ich bin ja nur ein Animath.
Porf. Pr. ser. matt Nilmedia
Korrektur:
Für einen Spline (also ein Polynom dritten Grades) brauchst Du keine Zwischenstelle, es geht also, wenn Du nur die Punkte und die Ableitungen in den Punkten hast.
Ich würde auch Splines vorschlagen. Das machen meines Wissen CAD-Systeme auch damit (Bezier-Kurven). Man erhält beliebige Glattheit an den Übergängen bei optimalem Rechenaufwand.
Wenn du dafür Formeln oder so brauchst, sag’ einfach Bescheid.
Ich würde von Newton und Lagrange abraten. Wenn Du nur zwei Punkte nimmst, dann erhältst Du lediglich eine Grade, die beide Punkte verbindet. Wenn Du einen dritten Punkt dazwischen dazunimmst, musst Du „stückeln“, also ihn ein bischen nach rechts oder links schieben, damit es an den Berührpunkten glatt wird. Und Du hast auch nicht die Garantie, dass es an beiden Punkten glatt ist.
Die Koeffizienten der Newton-Darstellung bleiben nur erhalten, wenn Du einen neuen „Interpolations-Knoten“ dazunimmst, der außerhalb des bisher berechneten Polynoms liegt, das hilft also nicht, wenn Du einen neuen Punkt dazwischen wählst. Du könntest dann natürlich außerhalb einen Punkt wählen, aber ich glaube, das ist ziemlich aufwändig, bis Du dann eine Kurve hast, die Dir gefällt