Hallo miteinander,
ich hänge schon seit Tagen an einer Aufgabe, die mich verrückt macht.
Angenommen wir haben einen Kreis (Maße unbekannt) und aus dem schneiden wir ein Kuchenstück mit dem Winkel α raus. Nun machen wir uns aus dem verbleibenden „Kuchen“ einen Kegel. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel α und dem enstehenden Volumen des Kegels.
Also es ist ja schonmal klar, dass das Volumen gegen 0 geht, wenn man nur ein ganz ganz kleines Stück rausnimmt oder wenn man fast alles raus schneidet. Ich bin auch schon darauf gekommen, dass der Kegel ja im Prinzip ein rechtwinkliges Dreieck ist, dass man einfach rotieren lässt. Also müsste sich ja logischerweise erklären, dass wenn die Fläche des Dreiecks am größten ist, dann ist auch das Volumen des Kegels am größten. Erstmal weiß ich nicht, wie ich den Verlauf der Fläche des Dreiecks zeigen/berechnen soll und welcher Zusammenhang zum Winkel α besteht. Wäre dankbar für Hilfe und sorry, wenn ich das grade schlecht mathematisch erklärt hab!
Gruß Adrian
Hi Zimbelmann,
Du kannst über
α/360° = Länge Kreisbogen / Umfang des Kreises
den Umfang der Kegelgrundfläche ausdrücken. Der is ja gerade die Länge des Kreisbogens (also die Länge der Rückseite des Kuchenstücks). Mit dem Kegelgrundflächenumfang kriegst du seinen Radius raus. Mit DIESEM, dem Pythagoras und dem Radius des gesamten Kuchens kannst du die Höhe des Kegels ausdrücken. Mit Höhe und Radius brauchste dann nur noch die Formel fürs Volumen im Kegel: 1/3*Grundfläche*Höhe
Gruß
Flo
Also 1/3*π*r²*h (h= Höhe des Kegels, π*r²=Grundfläche des Kegels) zur Berechnung des Kegelvolumens ist mir soweit bekannt. Also der Umfang des Kreises unseres Kegels ist ja der Umfang der ursprünglichen Kreises minus α.
Und der Umfang eines Kreises ist ja UKreis=2*π*r also ist der Umfang des Reststücks(Kegelgrundflächenumfang) UKegel=(2*π*r/360)*(360-α), wenn ich mich nicht irre. Aber den Rest deiner Erklärung hab ich leider nicht ganz verstanden. Wie komme ich nun auf den Radius r?
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Also 1/3*π*r²*h (h= Höhe des Kegels,
π*r²=Grundfläche des Kegels) zur Berechnung des
Kegelvolumens ist mir soweit bekannt. Also der Umfang des
Kreises unseres Kegels ist ja der Umfang der ursprünglichen
Kreises minus α.
Und der Umfang eines Kreises ist ja UKreis=2*π*r
also ist der Umfang des Reststücks(Kegelgrundflächenumfang)
UKegel=(2*π*r/360)*(360-α), wenn ich mich
nicht irre. Aber den Rest deiner Erklärung hab ich leider
nicht ganz verstanden. Wie komme ich nun auf den Radius r?
Ahh… also so willst du’s machen. Ich dachte, du schneidest aus dem Kuchen ein Stück raus und machst daraus den Kegel. Darauf bezog sich meine Erklärung (Ich überleg grad, ob das nicht das Gleiche ist??). Ok, machen wir aus dem großen Stück den Kegel. Auf deinen Ausdruck für den Kegelumfang komm ich auch
Ukegel= 2πr (1 - α/360°)
Dann kannst du sagen, dass der Radius R des Kegels eben
R=r (1 - α/360°)
ist. Jetzt schau dir den neuen Kegel von der Seite an. Zur Volumenberechnung fehlt dir nur noch die Höhe. Die kriegst du über die Mantellinie und den Pythagoras, d.h.
Höhe² + R² = Mantellinie²
Die Mantellinie ist aber gerade der Radius r des ursprünglichen Kreises:
Höhe² + R² = r²
eigensetzt:
Höhe = r wurzel(1-(1- α/360°)²)
Dann damit nur noch in die Formel für die Volumenberechnung reingehn.
Gruß
Florian
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Wow, vielen Dank, das wär dann also alles in allem/einem:
1/3*π*(r*(1-α/360))^2*r*√(1-(1-α/360)^2)
wenn ich da richtig liege! Vielen vielen Dank für die Hilfe!
Also die Kurve über den Volumenverlauf sieht ja schonmal super aus, finde ich Am Anfang und am Ende 0, des passt und das Optimum liegt ungefähr für α = 66,06°.
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