Verdichtungspunkte

Wissenschaft Physik
1

hallo!

ich habe ein problem mit folgender aufgabe:

untersuche sie, ob es zur gegebenen menge V eine folge reeller zahlen
gibt, deren in R liegende verdichtungspunkte genau die elemente von V
sind:
V = (0,1)

das heißt also, ich muss eine folge finden, welche die andforderungen
erfüllt, oder einen beweis liefern warum es so eine folge nicht geben
kann.

ich frage mich, wie soll es so eine folge überhaupt geben??

zur definition des verdichtungspunktes:
a € R {-oo, +oo} ist genau dann verdichtungspunkt einer reellen
zahlenfolge, wenn diese eine gegen a (im fall ±oo uneigentlich)
konvergente teilfolge enthält.

demnach brauche ich eine folge, die überabzählbar unendlich viele
verdichtungspunkte und überabzählbar unendlich viele teilfolgen, die
alle gegen einen dieser verdichtungspunkte konvergieren, hat.

und da scheitert meine mathematische kreativität…

ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

mfg
otto

2

hi,

untersuche sie, ob es zur gegebenen menge V eine folge reeller
zahlen
gibt, deren in R liegende verdichtungspunkte genau die
elemente von V
sind:
V = (0,1)

ich denke, die folge
0/1, 1/1, 0/2, 1/2, 2/2, 0/3, 1/3, 2/3, 3/3, 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4 …
die - brav nach cantor - alle rationalen zahlen zwischen 0 und 1 liefert - die in [0,1] bekanntlich dicht liegen -, müsste alle zahlen von [0,1] als häufungs-/verdichtungspunkte enthalten.

allerdings sind da 0 und 1 dabei, und ich kann mir momentan nicht vorstellen, wie eine folge das offene intervall (0,1) als häufungspunkte liefern sollte. wenn zb jede beliebige, noch so nahe bei 0 liegende zahl häufungspunkt sein soll, dann muss 0 auch. denke ich, aber ich bin da momentan nicht hundertproz eingearbeitet.

(auch wenn man in der obigen folge alle folgenglieder, die 0 oder 1 sind, weggnimmt, bleiben 0 und 1 häufungspunkte.)

also ich glaube, die offenen klammern sind die crux der sache. die menge der häufungspunkte einer folge muss endlich, abzählbar oder kompakt sein, scheint mir. ???

hth
m.

3

nachtrag
hab mal per wikipedia meine vor ca. 25 jahren zuletzt abgestaubten topologie-kenntnisse ausgegraben. und das ergibt:

„kompaktheit“ ist in R mit seiner metrik äquivalent mit „folgenkompakt“, d.h. jede folge hat eine konvergente teilfolge.

gäbe es eine folge, die alle punkte von (0,1) (und nur die) als häufungspunkte hat, dann müsste es für jeden punkt von (0,1) teilfolgen geben, die zu diesem punkt konvergieren. dann wäre das intervall (0,1) kompakt.

wir wissen aber, dass (0,1) nicht kompakt ist. also kann es so eine folge nicht geben.

dass (0,1) nicht kompakt ist, sieht man z.b. daran, dass die menge der stammbrüche in (0,1) keinen häufungspunkt hat.

hth
m