Hi,
Dass beim Schnitt von zwei Intervallen ein neues Intervall entsteht weiss ich. Dass das bei der Vereinigung von zwei Intervallen nicht immer so ist, auch.
Aber kann man das irgendwie beweisen?
Danke,
Max
Hi,
Dass beim Schnitt von zwei Intervallen ein neues Intervall
entsteht weiss ich.
Hallo,
was ist aber bei 2 disjunkten Intervallen? Da ist der Schnitt die leere Menge, also kein Intervall mehr.
Nehmen wir also mal an, die wären nicht disjunkt.
ich weiß nicht, wie weit du im Studium bist, aber es gibt in der Analysis die sog. zusammenhängenden Mengen.
Sei (X,d)metrischer Raum. M Teilmenge X heißt unzusammenhängend, falls offenen Teilmengen U,V von X existieren, mit:
- M Teilmenge von U vereinigt mit V
- U geschnitten mit M ungleich leere Menge
- V geschnitten M ungleich leere Menge
- U geschnitten V geschnitten M gleich leere Menge
Eine nicht unzusammenhängende Menge heißt zusammenhängend.
Eine Folgerung daraus ist, dass eine Teilmenge von R genau dann ein Intervall ist, wenn sie zusammenhängend ist.
Nun gilt: Der Schnitt von zwei zusammenhängenden Mengen ist wieder zusammenhängend. Da A und B zshgd, ist A geschnitten B zshg, also ein Intervall. Daraus folgt die Behauptung.
Dass das bei der Vereinigung von zwei
Intervallen nicht immer so ist, auch.Aber kann man das irgendwie beweisen?
Ja, indem du ein Gegenbeispiel angibst und guckst wie ihr Intervalle definiert habt. Damit hast du durch Gegenbeispiel gezeigt, dass dies im Allgemeinem nicht gilt. Ansonsten wieder mit zshgd Mengen:
Seien zwei Intervalle gegeben:
[0 1] vereinigt [5 6] die Menge nennen wir M
Dann gilt: M Teilmenge von (-1 2)=U vereinigt mit (4 7)=V
M geschnitten U ungleich leere Menge, M geschnitten V ungleich leere Menge, der Schnitt der drei: leere Menge, also haben wir zwei offene Mengen gefunden die die Definition erfüllen, also haben wir ein Gegenbeispiel gefunden.
Vielleicht gibt es da noch einen Weg der nicht über zshgd. geht, würd mich mal interessieren…
MfG