Verformung einer Kugel

Technik Mechanik & Konstruktion
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Ich habe den mechanischen Belastungsfall einer Kugel, die von einem Kräftepaar zentrisch belastet wird. Die dabei auftretende Hertzsche Pressung an den Kraftangriffsstellen interessiert mich hierbei nicht. Ich möchte wissen, wie stark sich die Kugel an ihrem „Äquator“ aufweitet, wenn das Kräftepaar an den „Polen“ angreift.

Gibt es hierfür bereits fertige Gleichungen? Eine Herleitung erscheint mir hier sehr aufwändig, da es sich ja um einen allgemeinen Spannungszustand handelt, oder?

Danke für die Hilfe, Johannes

#2

Johannes,

gute Frage, eine Antwort habe ich aus dem Stehgreif nicht,
es sollte aber eine geschlossene Lösung des Problems geben.
Sorry, ich müsste auch erst mal jemanden anrufen :smile:

Gruß

Thomas

#3

Hallo Johannes,
ich bin hier zwar in einer Werkstatt an der Uni Kiel tätig, aber nicht mit solchen Problemen vertraut. Sorry

Günter Bresa

#4

hallo johannes,
deine frage ist mir zugestellt worden. das trifft nicht meinen wissensbereich. ich hoffe, jemand anderes kann dir hier weiter helfen.
grüsse, sara

#5

Hallo!

Dein Problem ist einfach eine Querkontraktion durch einachsigen Zug/Druck, kein allgemeiner Spannungszustand. Das Modell hierfür wäre ein Zugstab der mit einer Kraft belastet ist und sich einschnürt bzw. aufweitet. Bei einem Zugstab ist jedoch der Radius, also die Querschnittsfläche über die Länge konstant. Bei einer Kugel ist die Querschnittsfläche eine Funktion der Länge: Formel für Flächeninhalt der Querschnittsfläche A=r^2*PI mit r(z)=Wurzel(z^2-R^2). Dabei ist R der Radius der Kugel und z die Richtung in die du fortschreitest. (Die Kraft wirkt somit auch in z-Richtung). Somit ist A(z)=(z^2-R^2)*PI. Der Koordinatenmittelpunkt liegt hierbei in der Mitte der Kugel. Für die Dehnung in Längsrichtung: Epsilon=F/A*E. Hier musst du die Kraft (+ für Zugkraft, - für Druckkraft) und den Flächeninhalt A(z) einsetzen und über z integrieren. (E ist der Elastizitäsmodul) Die Integrationsgrenzen sind hier -R bis R. So kommst du auf die Dehnung in Längsrichtung. Unter der Belastung bildet sich ein Ellipsoid jedoch Symmetrisch um die z-Achse. Unter der Annahme das das Volumen konstant bleibt (also V(Kugel)=V(Ellipsoid), kannst du dir aus der Ellipsengleichung den Abstand von der z-Achse berechnen, was zugleich der Radius des „Äquators“ ist.

Ich hoffe es ist nicht zu verwirrend. Das ganze ist hier etwas schwierig darzustellen. Bei weiteren Fragen einfach melden.

Lg Stefan

#6

Hallo Stefan,

vielen Dankl für den Tip mit dem Zugstab. Ich hab das jetzt mal probiert. Dabei gibts dann nach dem Integrieren leichte Probleme, weil beim Einsetzen der Integrationsgrenzen an der einen Grenze der Ausdruck ln(2R/0) und an der anderen ln(0/2R) entsteht, was ja beides nicht definiert ist. Hier integriere ich jetzt nur bis knapp vor die Grenze (also statt R z.B. 0,999*R, Excel gibt 15 Nachkommastellen her :smile:.
Die Annahme mit dem konstant bleibenden Volumen gilt leider auch nur für Querkontraktionszahlen von 0,5. Ich hab aber Stahl und also 0,3. Damit kann man aber einen Zusammenhang zwischen Längs- und Querdehnung herstellen (glaub ich).

Viele Grüße, Johannes