Hallo,
ich soll an der funktion F(x)= 1/5x^5-17/3x^3+16x das verhalten im unendlichen überprüfen. Nun haben wir in der schule gelernt dort einfach +100 bzw -100 einzusetzen. Das hab ich dann auch gemacht und hab dies in die ausgansgleichung eingesetzt.Lösung:
f(+100)= 1994334933
f(-100)=-1994334933
Und geschrieben hiesse es ja dann:
„limes für x gegen + unendlich über f(x) ist gleich + unendlich“
bzw
„limes für x gegen - unendlich über f(x) ist gleich - unendlich“
Könnte mir bitte jemand sagen ob das so richtig ist, oder ob ich völlig flasch liege?Lg
F(x)= 1/5x^5-17/3x^3+16x
Die Lösung ist richtig, aber das Verfahren denkbar schlecht.
Kurzform: Die höchste Potenz ist ungerade.
Das dürfte reichen (Wurde bereits bewiesen). Wenn sie gerade wäre, wäre der Grenzwert für x gegen -∞ positiv.
mfg,
Ché Netzer
Hallo,
also muss ich lediglich hin schreiben „limes für x gegen + unendlich über f (x) ist gleich + unendlich“ und „limes für x gegen - unendlich über f (x) ist gleich - unendlich“ ? Aber ich muss doch beweisen können wie ich darauf gekommen bin, bzw was hat das lösungs verfahren mit der höchsten potenz zu tun? Sorry, ich hab von dem thema keinen schimmer :o)
Wenn f ein Polynom n-ten Grades ist, dann gilt:
\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty,
\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = \infty für gerades n,
\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty für ungerades n.
Der erste Term (der mit der höchsten Potenz) „zieht am stärksten“, ist also entscheidend. So ist das natürlich kein formaler Beweis, aber vermutlich dürften die Regeln oben als gegeben betrachtet werden. Ansonsten kannst du ja mal probieren, deine Funktion etwa so aufzuschreiben: f(x) = (x+a)(x+b)…
Vielleicht klappt das so auch.
mfg,
Ché Netzer
Als geht meine fukntion ausschließlich ins + unendliche? Ach ich versteh das einfach nichgt. Das ist echt ein buch mit sieben siegeln!
„Normale“ Potenzfunktionen kennst du doch, oder?
Also x², x³ und höhere Exponenten.
Wie die verlaufen, weißt du vermutlich auch. Wenn man x² + 2x + 1 betrachtet, ist das x² um 1 nach links verschoben ((x+1)²), hat also die gleichen Grenzwerte. Genauso (oder zumindest ähnlich) geht das mit höheren Exponenten.
mfg,
Ché Netzer
Ja, das kenn ich alles. Nur weiss ich einfach nicht wie ich das aufschreiben soll. Ich frag morgen nochmal meine lehrerin! Aber danke:o)
Hmm, wenn du die Frage schon hier stellst, brauchst du aber nicht auch noch zusätzlich ne Expertenanfrage stellen.
Aber halt jetzt nochmal meine Antwort für alle:
Hallo MrsMonster
das mit dem „große Werte einsetzen“ würde ich dir nicht empfehlen. Bei so einfachen Polynomen klappt es zwar meistens, aber im Allgemeinen kannst du nicht davon ausgehen. Es könnte ja beispielsweise sein, dass die Funktion bei x=101 eine Extrempunkt hat und dann wieder fällt!
Ich würde dir bei Polynomen empfehlen es auf folgende Weise zu machen:
Du klammerst den höchsten Exponenten aus und wendest dann die Grenzwertsätze an. Heißt also in deinem Beispiel:
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty}( \frac 1 5 x^5 - \frac{17} 3 x^3 +16x)
= \lim_{x \to \pm\infty} x^5 (\frac 1 5 - \frac {17} 3 \frac{x^3}{x^5} +16 \frac x {x^5})
\lim_{x \to \pm\infty} \underbrace{x^5}_{\to \pm \infty} (\underbrace{\frac 1 5}_{>0} - \underbrace{\frac {17} 3 \frac 1 {x^2}}_{\to 0} + \underbrace{16 \frac 1 {x^4}}_{\to 0})
= \pm \infty
(Das sind jetzt natürlich zwei separate Betrachtungen für x gegen plus und minus unendlich.)
Gruß Sven
Nachtrag
Falls deine Funktion gewesen wäre
f(x) = -\frac 1 5 x^5 - \frac{17} 3 x^3 +16x
würden sich bei der Grenzwertbetrachtung die Vorzeichen umkehren:
\lim_{x \to \pm\infty} \underbrace{x^5}_{\to \pm \infty}
(\underbrace{-\frac 1 5}_{