Verkettete Funktionen zeichnen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich bin auf meine Lehrbücher gestoßen und habe ein „ungelöstes“ Problem gefunden:

die Funktion f(x)=-e^(-x+2) soll graphisch dargestellt werden. Ausgangspunkt ist die Funktion y=e^x.

Dabei soll - was selbstverständlich ist - e^x an der x-Achse gespiegelt werden und um 2 nach rechts verschoben und an der y-Achse gespiegelt werden.
Das Seltsame dabei ist aber, dass je nach dem in welcher Reihenfolge diese Schritte durchgeführt werden, unterschiedliche (u.U. falsche) Lösungen herauskommen.

Wie lässt sich nun die genaue Reihenfolge der Schritte festlegen?
Ich schätze, dass es etwas mit Verkettung zu tun hat, aber iwie komme ich nicht dahinter.

Danke im Voraus!

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Hallo =)

Hallo,

ich bin auf meine Lehrbücher gestoßen und habe ein
„ungelöstes“ Problem gefunden:

die Funktion f(x)=-e^(-x+2) soll graphisch dargestellt
werden. Ausgangspunkt ist die Funktion y=e^x.

Dabei soll - was selbstverständlich ist - e^x an der x-Achse
gespiegelt werden und um 2 nach rechts verschoben und an der
y-Achse gespiegelt werden.

Was?

Also, wenn ich dich richtig verstanden habe willst du f(x)=-exp(-x+2) zeichnen oder?

Nun, ein ungelöstes Problem ist das sicher nicht.

f(x)=-exp(-x+2)=-exp(-x)*exp(2)=-1/y * exp(2), wenn du das so ausdrücken willst.

exp(-x) heisst einfach, dass du exp(x) an der x-Achse spiegelst, ja. -exp(-x) bedeutet, dass du exp(-x) an der y-Achse spiegelst. und exp(2) ist ein konstanter Faktor.

Also hast du deine exp-Funktion an der x-Achse und an der y-Achse gespiegelt, mit einem Vorfaktor von exp(2).

Du könntest also z.B. dein Koordinatensystem ein wenig spiegeln - d.h. rechts von der y-Achse sind negative x Werte und oberhalt der x-Achse sind negative Werte, dann noch die exp-Funktion mit exp(2) multiplizieren und fertig…

Das Seltsame dabei ist aber, dass je nach dem in welcher
Reihenfolge diese Schritte durchgeführt werden,
unterschiedliche (u.U. falsche) Lösungen herauskommen.

Dann zeig mal deine Schritte.

Wie lässt sich nun die genaue Reihenfolge der Schritte
festlegen?

Wie gesagt, ich weiss nicht genau, was du machen willst.

Ich schätze, dass es etwas mit Verkettung zu tun hat, aber
iwie komme ich nicht dahinter.

Keine Ahnung :wink:

Danke im Voraus!

Hoffe, dass das ein Danke wert ist :smile:

MfG, Christian

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moin;

Die Spiegelung an der x-Achse kann hier zu einem beliebigen Zeitpunkt erfolgen. Nur die Reihenfolge der beiden x- Transformationen kann zu verschiedenen Ergebnissen führen.

Um es zu verdeutlichen, benutzen wir eine weitere Variable, sagen wir t.

Wir können als erstes an der x-Achse spiegeln, dies ändert sich ja (in diesem Beispiel) mit der Reihenfolge nicht.

Wir sind also bei f(x)=-e^x, und nun gibt es zwei Möglichkeiten:
Zuerst an der y-Achse spiegeln, dann können wir t=-x setzen und sind bei f(t)=-e^t.
Nach einer Verschiebung nach rechts um 2 sind wir bei
f(t)=-e^(t-2)
Zurück eingesetzt also bei f(x)=-e^(-x-2).

Verschieben wir zuerst um zwei nach rechts, dann können wir t=x-2 setzen: f(t)=-e^t
Nun an der y-Achse spiegeln, führt uns auf
f(t)=-e^(-t)
Zurück eingesetzt: f(x)=-e^(-(x-2))=-e^(-x+2)

Du siehst also, wie sich die Reihenfolge auf das Ergebnis auswirkt. Über diese Substitutionen (also t=…) kannst du nachvollziehen, welches Ergebnis herauskommt, allerdings gibt es m.M.n. keinen vorgefertigten Algorithmus für solche Transformationen, am besten, du überlegst vorher, was die einzelnen Transformationen im Besonderen bewirken :wink:

mfG

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Vielen herzlichen Dank für die Antwort.

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Hallo,

meine Schritten waren, dass ich als erstes die Funktion f(x)=e^x um 2 nach rechts verschoben habe und dann an den Achsen gespiegelt habe. Dabei kam etwas anderes raus, als wenn man als erstes spiegelt und dann verschiebt.

Viele Grüße!

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Hallo,

oder etwas allgemeiner: Zwischen –irgendwas + C und –(irgendwas + C) besteht ein Unterschied. In „–irgendwas + C“ wird zuerst x verminust und dann C addiert, wohingegen in –(irgendwas + C) erst C addiert und anschließend die Summe verminust wird. Beides ist nicht äquivalent.

Deshalb bedeutet die Transformation…

f(x)\quad\rightarrow\quad -f(-x+a) + b

anschaulich…

(1) Funktion f erst an der y-Achse gespiegelt, dann
(2) um a nach rechts verschoben, dann
(3) an der x-Achse gespiegelt, und schließlich noch
(4) um b nach oben verschoben.

Soll f dagegen…

(1) erst um a nach rechts verschoben, dann
(2) an der y-Achse gespiegelt, dann
(3) um b nach oben verschoben und schließlich noch
(4) an der x-Achse gespiegelt werden,

…lautet die zugehörige Transformation

f(x)\quad\rightarrow\quad -\Big(f(-(x+a)) + b\Big)

Gruß
Martin

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Vielen, vielen Dank für die Hilfe!

Beste Grüße
mgb