Hi, ich komme an einer Stelle bei meinen Studien nicht weiter.
Kann es eine Funktion f geben mit folgender Eigenschaft?
f(f(f(x)))= f(f(x)) + x
ist dieses f sogar injektiv?
Wer kann helfen?
hi,
Kann es eine Funktion f geben mit folgender Eigenschaft?
f(f(f(x)))= f(f(x)) + x
ist dieses f sogar injektiv?
ich denke, es kann viele solcher funktionen geben.
das beginnt mit linearen! denk dir z.b. f(x) = ax
dann ist f(f(f(x))) = a * f(f(x)) = a² * f(x) = a³x
andrerseits ist f(f(x)) = a²x
und die gleichung
f(f(f(x)))= f(f(x)) + x
wird zu
a³x = a²x + x
oder (für x 0):
a³ = a² + 1
oder
a³ - a² - 1 = 0
diese gleichung hat exakt eine lösung und ich bin jetzt zu faul, sie in wurzeln auszurechnen; sie liegt aber bei ca.
a ~ 1,46555
diese funktion ist natürlich auch injektiv.
nachdem schon der lineare ansatz eine lösung erbracht hat, kanns noch viele andere lösungen geben. (oder: würd mich wundern, wenn der lineare ansatz der einzige ist, der lösungen ergibt.)
hth
m.
genauer:
a = 1,465571231876768…
nach http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
a = 1,465571231876768…
nach http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
Vielen Dank Michael,
das hat mir geholfen. Ich habe zu komplizierte Terme genommen. Es scheint so, dass die lineare Funktion die einzige ist. Ich habe nichts weiteres gefunden.
Gibt es eine Begründung dafür, dass f injektiv sein muss?