Hallo!
Mal ein Rätsel für alle, die gerne lange und komplizierte Beweise führen. Und für alle, die lieber die 2-Zeilen-Variante haben. 
(Soll heißen, man kann den Beweis unglaublich kompliziert machen, oder ganz einfach hinschreiben.)
Man beweise:
lim(n–>oo)((1+2*pi*i/n)^n) = product(n=1–>oo)((2n)^(1/2n) - n^(1/n)) + 1
lG Alpha
Mahlzeit.
Also wenn ich die Formel richtig lese geht das Spiel wie folgt:
lim(n–>oo)((1+2*pi*i/n)^n) =
((2 * PI * i)/n) konvergiert gegen Null. Damit bleibt 1^n übrig. Macht 1.
product(n=1–>oo)((2n)^(1/2n) - n^(1/n)) + 1
Hm : (1 - 1) + 1 = 1, da (2n)^(1/2n) gegen 1 konvergiert und n^(1/n) genauso für n–>00
Stimmts ?
mfg M.L.
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Mahlzeit.
Dito.
lim(n–>oo)((1+2*pi*i/n)^n) =
((2 * PI * i)/n) konvergiert gegen Null. Damit bleibt 1^n
übrig. Macht 1.
Vorsicht, doppelter Grenzübergang! Es kommt zwar das richtige heraus, aber die Begründung is IMHO net ganz einwandfrei. Allerdings, lim(n–>oo)((1+x/n)^n) = e^x, und e^(2*pi*i) is bekanntlich 1.
product(n=1–>oo)((2n)^(1/2n) - n^(1/n)) + 1
Hm : (1 - 1) + 1 = 1, da (2n)^(1/2n) gegen 1 konvergiert und
n^(1/n) genauso für n–>00
Da steht aber product davor…
Stimmts ?
Der erste Teil grundsätzlich vielleicht eher ein bisschen schon, aber der zweite Teil geht noch deutlich schneller, und vor allem weniger schwammig formuliert.
lG Alpha
Hi
lim(n–>oo)((1+2*pi*i/n)^n) =
product(n=1–>oo)((2n)^(1/2n) - n^(1/n)) + 1
lim(n–>oo)((1+2*pi*i/n)^n) = exp(2*pi*i) = 1
Auf der rechten Seite verschwindet das Produkt, wenn ein Faktor verschwindet.
n=2:frowning:(2n)^(1/2n) - n^(1/n)) =4^(1/4) - 2^(1/2) = 0
Also ist die Rechte Seite ebenfalls = 1
Liebe Grüße,
Max
Graz
Graz!
lG Alpha