Hallo,
Was mich im Moment noch verwirrt: Wovon ist denn 1/2*m*v² das
Integral? Das müsste dann ja
Wkin = 1/2 m v2 entsteht bei der Herleitung des mechanischen Energiesatzes.
Ausgangspunkt dafür ist das Produkt v · F , mit dem man – noch wenig spektakulär – schreiben kann:
0 = \dot{\vec r} \cdot \vec{F} - \dot{\vec r} \cdot \vec{F}
Etwas interessanter wird es, wenn das erste F mit Erlaubnis von Newton durch „Masse mal Beschleuigung“ ersetzt wird:
\begin{eqnarray}
0
&=& \dot{\vec r} \cdot m \ddot{\vec{r}} - \dot{\vec r} \cdot \vec{F}
\nonumber\[6pt]
&=& m \dot{\vec r} \cdot \ddot{\vec{r}} - \dot{\vec r} \cdot \vec{F}
\nonumber\[6pt]
&=& \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} m \dot{\vec r}:^2\right) - \dot{\vec r} \cdot \vec{F}
\nonumber
\end{eqnarray}
Der erste Summand hat sich also als zeitliche Ableitung des Terms 1/2 m v2 entpuppt. Das ist schon was, aber richtig aufregend wäre es, wenn wir auch den zweiten Term als zeitliche Ableitung von irgendwas schreiben könnten. Das dürfen wir tatsächlich unter einer bestimmten Voraussetzung, nämlicher der, dass eine Größe Φ existiert, welche die Gleichung
\vec{F} = -\nabla \phi
erfüllt. Das Kraftfeld F muss also das Gradientenfeld eines skalaren Feldes Φ sein. Wir nennen die Größe Φ „potentielle Energie“, geben ihr das Formelzeichen Wpot, und schreiben:
\begin{eqnarray}
0
&=& \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} m v^2\right) - \dot{\vec r} \cdot (-\nabla W_{\rm pot})
\nonumber\
&=& \frac{d}{dt} \big(…\big) + \dot{\vec r} \cdot \nabla W_{\rm pot}
\nonumber\
&=& \frac{d}{dt} \big(…\big) + \frac{d}{dt} W_{\rm pot}
\nonumber\
&=& \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} m v^2 + W_{\rm pot}\right)
\nonumber
\end{eqnarray}
Da die Größen 1/2 m v2 und Wpot addiert werden, müssen sie dieselbe Dimension haben, woraus folgt, dass der Term 1/2 m v2 ebenfalls eine Energie ist. Dafür bietet sich der Ausdruck „kinetische Energie“ mit der Abkürzung Wkin an.
Damit kann das Ergebnis so formuliert werden:
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Mechanischer Energieerhaltungssatz: Wenn es ein skalares Feld Wpot( r ) gibt, genannt potentielle Energie, mit der Eigenschaft, dass das gegebene Kraftfeld F ( r ) ihr negativer Gradient ist („konservatives Kraftfeld“) , dann ist die mechanische Gesamtenergie zeitlich konstant:
\exists:W_{\rm pot}
::: {\rm mit} :::
\vec{F} = -\nabla W_{\rm pot}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{d}{dt} W_{\rm ges} = 0
{\rm mit}\quad
W_{\rm ges} := W_{\rm kin} + W_{\rm pot}
{\rm mit}\quad
W_{\rm kin} := \frac{1}{2} m v^2 = \textnormal{kinetische Energie}
Für jedes konservative Kraftfeld ist also Wgeseine Erhaltungsgröße.
d/dt Wpot = – v · F wird mechanische Leistung genannt.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Für den Sonderfall F · v = 0 ist nicht nur die Gesamtenergie Wkin + Wpot konstant, sondern auch Wkin und Wpot separat. Dann wird am Körper weder Leistung verrichtet, noch verrichtet er selber welche. Er bewegt sich dann auf einer Äquipotentialfläche. Das ist z. B. bei einem Satelliten auf einer exakten Kreisbahn der Fall ( F ⊥ v ).
Gruß
Martin
