obwohl ich glaube einen Gruppenhomomorphismus (Elemente der einen Gruppe können durch umschreiben in Elemente der anderen Gruppe umgewandelt werden, oder?) verstanden zu haben, weiß ich nicht wie ich die folgende Aufgabe löse. Was ist überhaupt damit gemeint und wie gehe ich da ran?
Aufgabe: Sei (X,*) eine Gruppe, (Q,*) die Gruppe der rationalen Zahlen mit der Addition und f: (X,*)–>(Q,+) ein Gruppenhomomorphismus (f bildet nicht jedes Element auf das neutrale Element ab).
Zeigen Sie, dass (X,*) unendlich viele Elemente enthält.
naja, für einen Gruppenhomomorphismus gilt doch, wenn zwei Elemente x,y aus (X,*) nimmst, dass f(x*y)=f(x)+f(y) gilt mit f(x), f(y) aus (Q,+), d.h. es ist egal, wierum du gehst, ob du zuerst verknüpfst und dann abbildest oder zuerst abbildest und dann verknüpfst. Jetzt hast du aber in deiner Gruppe (Q,+) unendlich viele Elemente (alle rationalen Zahlen), d.h. es wird auf unendlich viele Elemente abgebildet. Eine Funktion bildet ein Element aber nur auf ein anderes und nicht auf mehrere. Also brauchst du in deiner Gruppe (X,*) unendlich viele Elemente.
Ich hoffe mal dass der Beweisansatz so in Ordnung ist, falls jemand Einwände hat, so möge er/sie/es bitte mitteilen.
Gruss x303
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Ich hoffe mal dass der Beweisansatz so in Ordnung ist, falls
jemand Einwände hat, so möge er/sie/es bitte mitteilen.
dein ansatz geht davon aus, dass man nur eine unendliche menge in eine unendliche menge abbilden kann. das stimmt aber nicht.
tatsache ist, dass es natürlich eine endliche gruppe gibt, die man in (Q,+) abbilden kann, nämlich eine einelementige menge X = {x}, wobei dann aber „alle“ elemente von X auf 0 abgebildet werden müssen. der zusatzsatz in klammer ist also wichtig.
beweisskizze:
es muss also mindestens 2 elemente in X geben, also
X = {x1, x2, …}, wobei f(x1) = 0 (muss sein, dann ist x1 das neutrale element in X) und f(x2) = a 0.
es müssen dann alle vielfachen von a von f erreicht werden (wg. homomorphismus); also müssen alle inversen bilder dieser vielfachen bzgl. f in X sein. also kann X nicht endlich sein.
die nicht-trivialen gruppen, die in (Q,+) eingebettet werden, sehen also alle in etwa so aus wie
{0, p, 2p, 3p, …, -p, -2p, …}
obwohl ich glaube einen Gruppenhomomorphismus (Elemente der
einen Gruppe können durch umschreiben in Elemente der anderen
Gruppe umgewandelt werden, oder?) verstanden zu haben, weiß
ich nicht wie ich die folgende Aufgabe löse. Was ist überhaupt
damit gemeint und wie gehe ich da ran?
gemeint ist: alle rechenoperationen, die im prinzip so funktionieren wie die addition rationaler zahlen, setzen unendliche mengen voraus. nur auf unendlichen mengen kann man wirklich „addieren“.
andersrum: in endlichen gruppen sind die rechenoperationen zwangsläufig „anders“ als die addition in Q.
das gilt auch für diese ganzen restklassengruppen mit ihren „additionen“.
Aufgabe: Sei (X,*) eine Gruppe, (Q,*) die Gruppe der
rationalen Zahlen mit der Addition und f: (X,*)–>(Q,+) ein
Gruppenhomomorphismus (f bildet nicht jedes Element auf das
neutrale Element ab).
Zeigen Sie, dass (X,*) unendlich viele Elemente enthält.