In einer konkreten Anwendung (Distanzmessung, x=Abstand, y=Spannung) habe ich mit Hilfe der Excel-Trendlinien-Funktion folgende Formel als Beste Annäherungsformel für die gemessene Wertetabelle gefunden:
y = -0.0003x^3 + 0.0178x^2 - 0.0489x + 1.132
Mit konkreten y (Wertebereich zwischen 0 und 3,2)
3.11 = -0.0003x^3 + 0.0178x^2 - 0.0489x + 1.132
komme ich nach Umformung auf diese Formel
0 = -0.0003x^3 + 0.0178x^2 - 0.0489x + 1.132- 3.11
Habe im Google auch die Cardonische Formel gefunden und mir auch die Determinate ausgerechnet.
Wenn ich das aber richtig verstehe, wird diese Formel verwendet, um die Nullstelle zu finden.
Wie kann ich aber die Formel umformen, so dass ich folgendes habe:
x = f(x)
Die Determinate ist ja nur Abhängig von den Koeffizienten (p,q) und die Nullstelle ist ein konkretes Ergebniss.
Habe aber im Google noch nichts gefunden, wie ich die Funktion umkehren kann.
Könnte mir da jemand bitte eine Tipp geben (brauche nur Stichwörter, Links, etc). Möchte es selbser lösen und verstehen.
P.S.: Habe in Excel die Spalten X und Y auch schon vertausch, um so von Haus aus, das richtige Ergebnis zu bekommen, aber die ermittelte Annäherungsfunktion ist nicht so gut, wie in der oben genannten Funkiton!
Zuerst berechnest du p und q, und aus diesen die Diskriminante D, je nachdem, ob D größer, gleich, oder kleiner als Null ist, werden verschiedene Lösungsformeln für u angegeben. Wenn du alle „u“ ausgerechnet hast, kannst du die Rücksubstitution durchführen: x = u - b/3a;
Eine kubische Gleichung kann eben mehrere Lösungen haben, je nach Ausgangsfrage müssen/können verschiedene Lösungen ausgeschlossen werden (z.B. wenn bei einem x eine negative Zeit oder ein negatives Volumen rauskommt, kann man diese Lösunge wahrscheinlich ausschließen).
Mit konkreten y (Wertebereich zwischen 0 und 3,2)
3.11 = -0.0003x^3 + 0.0178x^2 - 0.0489x + 1.132
komme ich nach Umformung auf diese Formel
0 = -0.0003x^3 + 0.0178x^2 - 0.0489x + 1.132- 3.11
Habe im Google auch die Cardonische Formel gefunden und mir
auch die Determinate ausgerechnet.
nichts für ungut, aber es ist die Cardanische Formel, bei der der Wert der Diskriminante entscheidend für den Typ der Lösungsmenge ist.
Wenn ich das aber richtig verstehe, wird diese Formel
verwendet, um die Nullstelle zu finden.
Ja. Aber eine Formel, mit der Du die Nullstelle(n) von ax³ + bx² + cx + d berechnen kannst, ist automatisch auch eine Formel, mit der Du die Lösungen der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = u oder der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = vx² + wx finden kannst. Denn die Lösungen von ax³ + bx² + cx + d = u sind ja identisch mit den Nullstellen von ax³ + bx² + cx + d – u, und analog ist genau das, was ax³ + bx² + cx + d = vx² + wx löst, eine Nullstelle von ax³ + (b–v)x² + (c–w)x + d.
Wie kann ich aber die Formel umformen, so dass ich folgendes
habe:
x = f(x)
Die Lösungsmenge der Gleichung x = f(x) ist identisch mit der Lösungsmenge der Gleichung 0 = g(x) (⇒ wieder Nullstellensuche) mit g(x) := f(x) – x.
… ist ja nur Abhängig von den Koeffizienten (p,q)
Ja, aber g(x) hat andere Werte für p und q als f(x).
In einem ersten Schritt mache ich es so, dass ich programmiertechnisch in einer Schleife y Ausrechnen lasse und dann mit dem gemessenen Wert vergleiche. Ist der gleich oder größer habe ich den Wert, wenn nicht erhöhe ich x in zB 0,2cm Werten. Da ich einen vorgegeben Bereich habe (0 bis 15 cm) ist die Schleife bald durchgelaufen.
Das reicht mal für eine erste Annäherung.
Schöner wäre aber eine Umformung …
Wenn die Wertebereiche (0 bis 15 cm bzw. 0 bis 3,1 V) vorgegeben sind, müßte doch eine Umkehrung möglich sein. Umformungen bei qudratischen Gleichungen ist ein Kinderspiel, aber bei kubischen…