Verständnisproblem Extremwert berechnen

mrhenky_d11d7f · 5. August 2008 um 21:04

Guten Abend!

Wenn man einen Extremwert berechnen möchte, hat man meistens eine Angabe, was minimal oder maximal sein soll. Von daher kann man auch auf einen Lösungsweg schließen.

Was muss ich aber machen, wenn ich keine Angabe habe, die mir sagt, was minimal / maximal werden soll?

Ich stecke bei einem Beispiel, welches die karge Angabe hat:
„Berechne für nebenstehende Funktion f(x,y) die Extremwerte: z = 3x² + 4xy + 5² + 1“

Nun ist mir bekannt, dass ich die Ableitungen nach x und y in erster und zweiter Ordnung durchführen muss. Jene lauten:

zx = 6x + 4y
zy = 4x + 10y

zxx = 6
zyy = 10

Hier habe ich dann ein kleines Problem.
Eine Bedingung für einen Extremwert ist, dass die erste Ableitung nach x gleich 0 sein soll. Dadurch soll man auch ein Ergebnis für die Variable erhalten. Dies gilt aber nur für Berechnungen, bei denen nur eine Variable vorkommt.

Bei zwei Variablen muss ich einen Zusammenhang zwischen den Variablen finden. Allerdings finde ich im Internet immer nur Beispiele dazu, bei denen man Nebenbedingungen hat. Ich habe aber keine.

Also, denke ich mir, dass ich zuerst zx gleich null setze und von daher eine Variable definiere, die ich dann in zy einsetzen kann. Das sieht folgendermaßen aus:
6x + 4y = 0
4y = -6x | :2
2y = -3x
y = -3/2x
So, nun könnte ich theoretisch mein y in die Ableitung nach y einsetzen, so dass ich einen Wert für x bekomme. Da ich aber keine Nebenbedingungen habe, ist dieser immer 0.

4x - 30/2x = 0 oder auch 4x - 15x = 0
-11x = 0
–(0 durch einen Wert ergibt immer null, daher:smile:–
x = 0

Obwohl mir im Unterbewusstsein schon klar wurde, dass der folgende Schritt kompletter Blödsinn ist, habe ich doch weitergerechnet um zu sehen, was passiert:

x in die Anfangsformel einsetzen (weil dort eine Zahl vorkommt)
3*x + 4*0*y + 5*y² + 1
5*y² + 1
-1 = 5*y²
-1/5 = y²
Und hier hat der Spaß endgültig aufgehört.

Nun meine Frage:
Wenn ich keinen Wert ausrechnen kann, der auch Sinn ergibt, stimmt theoretisch die zwingende Bedingung, dass die Ableitung nach x 0 sein muss, nicht mehr und ich habe somit keine Lösung für die Extremwerte.
Was ist nun hier der Fall?
Gibt es Extremwerte? Existieren keine? Kann ich Extremwerte berechnen, wenn Nebenbedingungen inexistent sind?

Liebe Grüße
mrhenky

McGee_55a7a1 · 5. August 2008 um 22:04

Ich stecke bei einem Beispiel, welches die karge Angabe hat:
"Berechne für nebenstehende Funktion f(x,y) die Extremwerte:
„z = 3x² + 4xy + 5y² + 1“

Nun ist mir bekannt, dass ich die Ableitungen nach x und y in
erster und zweiter Ordnung durchführen muss. Jene lauten:

zx = 6x + 4y
zy = 4x + 10y

zxx = 6
zyy = 10

…

–(0 durch einen Wert ergibt immer null, daher:smile:–
x = 0

Bis hierher richtig.

Einsetzen in die Ursprungsgleichung führt natürlich nicht zum gewünschten Ergebnis. (Das Ergebnis deiner Rechnung ist, dass der Punkt (0,y) nicht auf der Funktion liegt)

Wenn du die Lösung x=0 aber in die 1. Ableitung nach y einsetzt
(zy = 4x + 10y) und gleich null setzt, sollte was richtiges herauskommen.

Grüße
Thorsten

mrhenky_d11d7f · 5. August 2008 um 22:26

Vielen Dank für die Hilfe, aber ich habe noch ein kleines Anliegen:

(Das Ergebnis deiner Rechnung ist, dass
der Punkt (0,y) nicht auf der Funktion liegt)

Wenn du die Lösung x=0 aber in die 1. Ableitung nach y
einsetzt
(zy = 4x + 10y) und gleich null setzt, sollte was richtiges
herauskommen.

Dies habe ich nun auch vollbracht und mein Ergebnis daraus ist folgendes:

zy = 4x + 10y /->mit x gleich 0 und Gleichsetzung mit 0
0 = 4*0 + 10y
0 = 10y
y = 0

Heißt das nun, dass ich einen Extremwert auf dem Punkt (0|0) habe?

Gibt es da noch andere Extremwerte, die man auf einem anderen Weg berechnen kann? Denn unser Professor nimmt es sehr ernst wenn er in der Mehrzahl schreibt.

Eine kurze Randfrage: Welche zweite Ableitung muss größer / kleiner 0 sein, damit ich die Art des Extremwertes bestimmen kann?

mfg
mrhenky

OlafG · 5. August 2008 um 23:11

Hallo,

eine Funktion z=f(x,y) kann man sich als (gekrümmte) Fläche über der x-y-Ebene vorstellen, z gibt den jeweiligen Abstand der Fläche von der x-y-Ebene an. Ein Minimum liegt z.B. dort vor, wo diese Fläche eine Art Senke hat, also etwas, wo eine Kugel hineinrollen würde.
Dort müssen beide partiellen ersten Ableitungen gleichzeitig Null sein:

zx = 6x + 4y
zy = 4x + 10y

Das gibt ein Gleichungssystem, was nur die eine Lösung x=0 und y=0 hat. Dort ist z=1, und das ist wohl der tiefste Punkt dieser Fläche. Und auch das einzige Minimum, nicht nur ein lokales, sondern sogar das globale.
Dass es ein Minimum sein muss, sieht man auch daran dass die zweiten Ableitungen positiv sind:

zxx = 6
zyy = 10

Mehr steckt wohl nicht dahinter.

Olaf

McGee_55a7a1 · 6. August 2008 um 08:58

Heißt das nun, dass ich einen Extremwert auf dem Punkt (0|0)
habe?

Ja

Gibt es da noch andere Extremwerte, die man auf einem anderen
Weg berechnen kann? Denn unser Professor nimmt es sehr ernst
wenn er in der Mehrzahl schreibt.

Das Gleichungssystem hat nur eine Lösung, also nur ein Extremwert.

Eine kurze Randfrage: Welche zweite Ableitung muss größer /
kleiner 0 sein, damit ich die Art des Extremwertes bestimmen
kann?

Beide, da es ja sein kann das eine Funktion nach unten geht
(z.B. -y²), und dann wär es kein Extrempunkt mehr.

Viele Grüße
Thorsten

mrhenky_d11d7f · 6. August 2008 um 10:48

Vielen herzlichen Dank für die Unterstützung und die Erklärungen

mfg
mrhenky