Hallo Lex!
So ein Einbruch ist immer ärgerlich. Ich hoffe, Sie haben sich von selbigem mittlerweile etwas erholen können.
Sie beschreiben eine Haftungsfrage. Demnach ist der Hauseigentümer, hier Vermieter, dazu verpflichtet, das Haus - und dazu zählt auch die Haustüre - in ordnungsgemäßen Zustand zu erhalten. Dass diese abschließbar sein muss, versteht sich von selbst.
Die Frage welches es zu klären gilt lautet: hätte der Einbruch nicht stattgefunden, wenn die Haustüre abgesperrt gewesen wäre? Und jetzt bewegen wir uns nicht mehr im Bereich Versicherungen, sondern ausschließlich im Haftungsrecht.
Um auf den Versicherungsbereich zurückkehren - und das halte ich in Ihrem Fall für sinnvoller als die leidige Rechtslage zu eroieren - ist es wichtig zu wissen, wie der Vermieter versichert ist. Wenn selbiger eine Haus-/Grundbesitzerhaftpflichtversicherung (alternativ: Gebäudehaftpflichtversicherung) abgeschlossen hat, besteht soweit Versicherungsschutz, als dass der Vermieter aufgrund Verschulden den Mietern einen Schaden zugefügt hat. Dazu würde prinzipiell auch Ihr Einbruchschaden zählen.
Ich hoffe mal, Sie haben einen guten Draht zu Ihrem Vermieter, denn jetzt gehts ans eingemachte: Der Vermieter hat wie bereits erwähnt eine Sorgfaltspflicht; kommt er dieser nicht nach, muss er für daraus resultierende Schäden aufkommen. Wenn er aber Schäden am Gebäude gar nicht kannte, so z. B. die nicht verschließbare Haustüre, weil ihn niemand darauf aufmerksam gemacht hat, reduziert sich die Haftungsgrundlage entsprechend.
Ich gehe davon aus, dass Ihr Vermieter eine der o. g. Haftpflichtversicherungen abgeschlossen hat. Wichtig ist, dass Ihr Vermieter seiner Sorgfaltspflicht nicht nachgekommen ist, damit die Verschuldensfrage weitestgehend geklärt ist. So ließe sich nach entsprechender Schadensanzeige eine Regulierung bewerkstelligen und Sie blieben auf dem Schaden nicht sitzen.
Alternativ könnte sogar die Privathaftpflichtversicherung des Vermieters belangt werden, sollte eine anderweitige Haftpflichtversicherung nicht bestehen. Hier bedarf es allerdings einer subsidiären Mitversicherung des Mietrisikos für Immobilien.
Auf jeden Fall halte ich den Versicherungsweg für schneller und effizienter, als gegen den Vermieter zu prozessieren. Und hier sehe ich eher eine Schiedsspruch auf Basis eines Teilschuldverhältnisses beider Parteien.
Gerne stehe ich für weitere Fragen zu Verfügung!
Beste Grüße
Stephan