Ob du einen Vordruck nimmst oder das auf einem Bierdeckel festhältst, ist im Grunde egal, das gilt beides als Vertrag, wobei der Vordruck sicherlich die bessere Wahl ist - dann da sind direkt Felder für die wichtigen Dinge drin.
Wenn du das Auto vor Übergabe nicht abmeldest, schickst du nach der Übergabe eine Veräußerungsanzeige an Versicherung und Zulassungsstelle. Das Auto ist dann zwar bis zur Ummeldung noch über deine Versicherung versichert, aber für Schäden (SFK-Rückstufung) und Knöllchen haftest du selbst dann nicht mehr selbst. Und wenn der Käufer / Beschenkte das Auto nicht ummeldet, wird sich die Zulassungsstelle bald darauf drängen.
Aus eigener Erfahrung:
Mein Opa hat sein Auto geschrottet, und schon bald standen Leute vor der Tür, die Interesse am Auto bekundeten, woher auch immer die davon wussten. Mein Opa war da recht pragmatisch, und hat denen das Auto gegeben. Ein paar Wochen später wollte die Polizei dann wissen, warum sein Auto denn halb zerlegt irgendwo im Wald stünde. Zum Glück wurde auf einem Fetzen Papier festgehalten, dass das Auto den Besitzer gewechselt hat…