Verwirrung der linearen (un)abhängigkeiten

Wissenschaft Mathematik
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Hallo zusammen
Ich bin ein wenig verwirrt bezüglich dem Feststellen von linearen Abhängigkeiten und Unabhängigkeiten wäre schön es könnte mir jemand helfen:

Angenommen ich habe 2 Vekoren im R^2 (3, 2) und (6, 4).

So dachte ich, ich könne mit einer Derminanten feststellen ob sie linear abhängig sind (wenn die Determinante 0 ergibt), was hier wäre:
3 * 4 - 2 * 6 = 0. Aber da liege ich falsch oder?
Denn wenn ich ein Skalar einfüge 3*(3,2) und 4*(6,4) so ergibt die determinante ja nicht mehr 0.
Deshalb meine Frage: Auch wenn die Determinante 0 ergibt ist dies kein Beweis der linearen Abhängigkeit. Oder?

Wenn ich es mit einem Gleichungssystem zu lösen versuche:
3a + 6b = 0
2a + 4b = 0
kann ich damit erkennen ob eine andere als nur die triviale Lösung besteht:
3*0 + 6*0 = 0
2*0 + 4*0 = 0
Hier gibt es aber auch die Möglichkeit a = 2 und b = -1 zu setzen:
3*2 + 6*-1 = 0
2*2 + 4*-1 = 0
Damit würde die Determinante wieder 0 ergeben. Ist somit die Determinante doch ein Beweis der linearen Abhängigkeit (da man den inversen Skalar von a bei b nehmen kann? Da aber bei 3*0 und 6*0 z.B. immer die Determinante 0 ergibt ist sie kein Garant der linearen Unabhängigkeit oder?

Da die Gleichung nicht mit beliebigen a oder b aber doch mit mehreren erfüllbar ist, bedeutet dies:
die Gleichung ist linear abhängig wenn sie mit a + b 0 erfüllbar ist und linear unabhängig wenn sie nur mit a + b = 0 erfüllbar ist?

Nun aber noch das Problem: In einem n-dimensionalen Raum sind immer n+1 Vektoren linear abhängig.
Ich gehe von den Vektoren:
(2,4), (4,8), (10,6) aus und versuche es mit:
2a + 6b + 10c = 0 I
4a + 8b + 6c = 0 II

ich subtrahiere von II 2*Zeile I
2a + 6b + 10c = 0
0a - 4b - 14c = 0

ich addiere zu I 1.5*Zeile II
2a + 0b - 2.5c = 0
0a - 4b - 14.0c = 0

und es wäre:
2a -2c = 0
2*2.5 - 2.5*2 = 0
4b -14c = 0
4*7 -14*2 = 0
Ist das der Beweis der linearen abhängigkeit bei 3 Vektoren im R^2?
Dann hätte ich aber doch ein Problem wenn die 3 Vektoren im 3 R^2 wären:
(3,4), (4,8), (10,6) aus und versuche es mit:
3a + 6b + 10c = 0 I
4a + 8b + 6c = 0 II

Denn wie kriege ich die 3a auf 4a damit die Spalte 0 ergibt…?

Sorry wahrscheinlich habe ich einen ziemlichen Wirrwar geschrieben, aber so einen Wirrwar habe ich zur Zeit im Kopf…

Herzliche Grüsse
Brian

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Hallo,

Angenommen ich habe 2 Vekoren im R^2 (3, 2) und (6, 4).

OK. Hier sieht man sofort, dass sie linear abhängig (l. a.) sind, weil der zweite Vektor das Doppelte des ersten ist: (6, 4) = 2 · (3, 2).

So dachte ich, ich könne mit einer Derminanten feststellen ob
sie linear abhängig sind (wenn die Determinante 0 ergibt),

Stimmt ja auch. Die Vektoren sind l. a. ⇔ det = 0.

was hier wäre:
3 * 4 - 2 * 6 = 0. Aber da liege ich falsch oder?

Nein, damit liegst Du richtig.

Denn wenn ich ein Skalar einfüge 3*(3,2) und 4*(6,4) so ergibt
die determinante ja nicht mehr 0.

Wie kommst Du darauf? Auch dann ist det = 0. Einfach ausrechnen: det = 3 · 3 · 4 · 4 – 3 · 2 · 4 · 6 = 0

Oder noch allgemeiner:

α (3,2) und β (6,4) sind l. a. für alle α, β, denn:

det = α · 3 · β · 4 – α · 2 · β · 6 = α β (3 · 4 – 2 · 6) = α β · 0 = 0

Deshalb meine Frage: Auch wenn die Determinante 0 ergibt ist
dies kein Beweis der linearen Abhängigkeit. Oder?

Doch. Das Konstrukt „Determinante“ ist sogar so motiviert: Schnell und einfach feststellen zu können, ob mehrere gegebene Vektoren l. a. oder l. una. sind.

Wenn ich es mit einem Gleichungssystem zu lösen versuche:
3a + 6b = 0
2a + 4b = 0
kann ich damit erkennen ob eine andere als nur die triviale
Lösung besteht:

Indem Du es ganz normal zu lösen versuchst, und schaust, was dabei herauskommt.

Hier gibt es aber auch die Möglichkeit a = 2 und b = -1 zu setzen:
3*2 + 6*-1 = 0
2*2 + 4*-1 = 0

Genau, oder für a = 2000 und b = –1000, oder ganz allgemein für a = –2 b.

Damit würde die Determinante wieder 0 ergeben.

Tut sie ja auch. Aber nichts durcheinanderbringen mit a und b: Die Determinante hängt nur von den Vektoren selbst ab.

Ist somit die
Determinante doch ein Beweis der linearen Abhängigkeit (da man
den inversen Skalar von a bei b nehmen kann? Da aber bei 3*0
und 6*0 z.B. immer die Determinante 0 ergibt ist sie kein
Garant der linearen Unabhängigkeit oder?

Doch, s. o. Merken und nie mehr vergessen! :smile:

Da die Gleichung nicht mit beliebigen a oder b aber doch mit
mehreren erfüllbar ist, bedeutet dies:
die Gleichung ist linear abhängig wenn sie mit a + b 0
erfüllbar ist und linear unabhängig wenn sie nur mit a + b = 0
erfüllbar ist?

Nicht ganz. Die Vektoren sind l. a., wenn es irgendwelche von Null verschiedene a und b gibt, die das homogene Gleichungssystem lösen. L. a. sind sie, wenn nur a = b = 0 das homogene Gleichungssystem lösen.

Nun aber noch das Problem: In einem n-dimensionalen Raum sind
immer n+1 Vektoren linear abhängig.

Ja. Die Dimension ist ja gerade definiert als die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die in dem Raum aufzutreiben sind.

Zum Rest Deines Postings: Googel mal nach den Begriffen Gaußschem Eliminationsverfahren und Rang einer Matrix. Vielleicht findest Du was Erhellendes. Ansonsten nochmal hier nachfragen.

Gruß
Martin

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Hallo Martin
herzlichen Dank für Deine Hilfe und die Erläuterung. Ich bin froh gesehen zu haben, dass ich nicht ganz auf dem falschen Weg war und scheinbar doch das eine und andere begriffen habe.
Herzliche Grüsse
Brian

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Hallo
Kannst Du mir nochmals bei einer Frage helfen?

Angenommen ich habe die Vektoren:
(3,2) und (7,4) sowie (5,8)
Diese müssten ja linear abhängig sein.

Ich bringe diese in eine Matrizenform:

3 7 5 = 0
2 4 8 = 0

Nun versuche ich diese zu lösen indem ich die Zeilen I und II vertausche:

2 4 8 = 0
3 7 5 = 0

Danach subtrahiere ich den 1.5 fachen Wert der I Zeile von der II:

2 4 8 = 0
0 1 -7 = 0

Somit ist diese Gleichung doch nur mit 0 erfüllbar und sie wären nicht linear abhängig. Was aber ja wiederum im Widerspruch zur Aussage steht dass in R^n, n+1 Vektoren linear abhängig seien oder??

Danke schon mal im Voraus und hoffe nochmals auf eine Erklärung.

Grüsse
Brian

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Hallo Bruno!

2 4 8 = 0
0 1 -7 = 0

Somit ist diese Gleichung doch nur mit 0 erfüllbar

Ganz und gar nicht: In der zweiten Zeile steht doch 1*y-7*z=0. Das kannst Du doch z.B. mit y=7, z=1 erfüllen. Dann ergibt die erste Zeile 2*x+4*7+8*1=0, also x=-18. Wenn Du das in Dein Ausgangsproblem einsetzt, sollte es stimmen.
Und da x0, sind die Vektoren linear abhängig. (Alternativ natürlich auch: Da y0 oder da z0, Hauptsache eins davon.)

Liebe Grüße,
Immo

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Hallo,

es ist genau so, wie Dir Vokietis schon erklärt hat.

Angenommen ich habe die Vektoren:
(3,2) und (7,4) sowie (5,8)
Diese müssten ja linear abhängig sein.

Ja, die Sammlung enthält ja mehr (nämlich 3 Stück) als die Dimension des Raums (= 2).

Ich bringe diese in eine Matrizenform:

3 7 5 = 0
2 4 8 = 0

Nun versuche ich diese zu lösen indem ich die Zeilen I und II
vertausche:

2 4 8 = 0
3 7 5 = 0

Danach subtrahiere ich den 1.5 fachen Wert der I Zeile von der
II:

2 4 8 = 0
0 1 -7 = 0

Korrekt.

Somit ist diese Gleichung doch nur mit 0 erfüllbar

Nein, eben gerade nicht. Die Gleichung 1 α – 7 β = 0 hat die „triviale“ Lösung α = β = 0 (die existiert bei homogenen linearen Gleichungen grundsätzlich immer) und darüberhinaus noch unendlich viele weitere nichtriviale. Es muss halt nur 1 α – 7 β = 0 erfüllt sein, Du verstehst? Dafür nichttriviale Lösungen zu finden, ist ein Kinderspiel: Ich kann z. B. α = 777 setzen. Der geeignete β-Wert ergibt sich dann aus der Gleichung; für β = α/7 = 111 passt es: 1 · 777 – 7 · 111 = 0 → OK! Damit haben wir als nichttriviale Lösung (α = 777, β = 111) gefunden, und wir könnten weitere angeben, bis der Arzt kommt: (α = 7, β = 1) oder (α = 777777777, β = 111111111) oder (α = 1554, β = 222)… Es muss einfach immer nur β = α/7 sein, das ist alles.

Wir können sogar mühelos auf einen Schlag alle nichttrivialen Lösungen angeben: (α = k, β = k/7 mit k ∈ IR). Einverstanden? Brauchen wir das „k“ unbedingt? Nein: Auch „β = α/7“ ist eine gültige Spezifikation der Gesamtheit aller nichttrivialen Lösungen. Was wir genausogut schreiben können als „1 α – 7 β = 0“. Hoppla!? Das ist ja gerade wieder die Ausgangsgleichung! So ist es: Die Ausgangsgleichung ist sozusagen bereits die Lösung selbst!

Anders geht die Geschichte aus, wenn Du den dritten Vektor (5, 8) weglässt. Die Vektoren (3,2) und (7,4) sind ersichtlich linear unabhängig.

Dann kommst Du auf:

2 4 = 0
0 1 = 0

Das bedeutet „ausgeschrieben“

2 α + 4 β = 0
0 α + 1 β = 0

also

2 α + 4 β = 0
1 β = 0

Et voila: Die letzte Gleichung (beachte: eine Gleichung für eine Unbekannte) ist ausschließlich mit β = 0 erfüllbar. Aus β = 0 folgt dann über die erste Gleichung auch α = 0. Ergebnis: Außer der trivialen Lösung α = β = 0 gibt es keine weiteren Lösungen ⇒ die Vektoren (3, 2) und (7, 4) sind linear unabhängig.

Und weil aller guten Dinge drei sind, noch der Fall „(3, 2) und ( 6 , 4)“. Die sind linear abhängig (der zweite Vektor ist das Doppelte des ersten).

In diesem Fall kommst Du auf

2 4 = 0
0 0 = 0

In der zweiten Zeile stehen dann nur Nullen. Das bedeutet aber, dass die zweite Gleichung immer erfüllt ist, für ausnahmslos jede Wahl von α und β (z. B. α = 975.2, β = –120.3). In der zweiten Gleichung steckt somit überhaupt keine Information. Aber in der ersten. Die ist dann wieder eine Gleichung für zwei Unbekannte, und das kennen wir schon aus dem ersten Fall. Wie gehabt: „2 4 = 0“ bedeutet ausgeschrieben „2 α + 4 β = 0“. Diese Gleichung hat nichttriviale Lösungen, z. B. α = 10, β = –5. Und die Gesamtheit aller existierenden nichttrivialen Lösungen können wir mit „2 α + 4 β = 0“ angeben.

Hoffe, etwas Licht ins Dunkel gebracht zu haben.

Gruß
Martin

PS: Preisfrage: In einem Raum der Dimension 6 seien 9 Vektoren gegeben. 3 davon seien linear unabhängig, die restlichen 6 davon linear abhängig. Wenn für diesen Fall das Gaußsche Eliminationsverfahren am Endpunkt angekommen ist, wie sieht dann die Matrix aus?
(Lösung weiter unten)
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Sie sieht so aus:

# x x x x x x x x
0 # x x x x x x x
0 0 # x x x x x x
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

mit „#“ = von Null verschiedenes Element,
„x“ = beliebiges Element (= 0 oder ≠ 0),
0 = Null.

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Hallo Martin und Vokietis
Herzlichen Dank nochmals für Eure Hilfe… Jetzt beim durchlesen ist es mir klar und auch einleuchtend. Ihr seit mir echt eine Hilfe gewesen. Thanks.
Herzliche Grüsse Brian