Verzerrungsgrid

Wissenschaft Physik
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hallo,

hab mal wieder ein mathematisches problem:

man stelle sich ein gitter (in der xy-Ebene) vor, welches aus einem hochelastischen material besteht.
ich nehme ein paar gitterpunkte (z.b. jeden 5-ten) und ziehe daran, so dass sie sich in x- und y-richtung verschieben. dabei wird jeder angefasste punkt anders vrschoben. die verschiebungen der restlichen punkte interpoliere ich aus diesen werten (mittels Thin Plate Splines). dadurch bekomme ich ein schönes elastisch verzerrtes gitter.

allerdings passiert es immer wieder, dass die verschiebungen benachbarter anfasspunkte sich so sehr unterscheiden, dass es zu unschönen stellen kommt, wo sich das grid dann „verdreht“. und diese möchte ich vermeiden.

gibt es irgendeine möglichkeit anhand der interpolierten x- und y-verschiebungen zu testen, wo solche stellen auftreten?

hab zum besseren verständnis mal zwei beispielbilder erstellt.

so soll es nicht aussehen:
http://www.htw-dresden.de/~s2661/so_nicht.jpg

sondern lieber so:
http://www.htw-dresden.de/~s2661/sondern_so.jpg

das ganze problem stellt sich mir auch 3-dimensional, aber davon möchte ich erstmal nicht reden. mir reicht eine lösung für den 2D-fall…

vg, yeza

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Hallo yeza,

ich würde das nicht mit Splines lösen, sondern iterativ. Das bildet die Vorgänge bei der Verformung eines elatischen Materials besser ab.

Stell dir vor, die Punkte deines Gitters sind durch Gummis miteinander verbunden. Die Gummis ziehen nun benachbarte Punkte mit einer Kraft proportional zum Quadrat des Abstands und zur Federkonstante (oder besser Gummikonstante). Damit das Gitter nicht kollabiert, mußt du die äußeren Punkte fixieren. Greifst und bewegst du nun einen Punkt, dann ist dieser auch fixiert. Alle anderen nicht-fixierten Punkte sind nun im Kräfteungleichgewicht. Die resultierende Kraft bestimmt die Bewegung der Punkte. Bewege alle Punkte ein kleines Stück, proportional zur Kraft, die wirkt. Berechne die Kräfte neu und wiederhole das Spiel, bis die Änderungen vernachlässigbar klein werden. Fertig. Jetzt mußt du die Gummis ersetzen, so daß auch nach dem loslassen des gezogenen Punktes die verzerrte Form bestehen bleibt. Will heißen: jeder Gummi bekommt jetzt eine eigene Gummikonstante, so daß die Punkte im Kräftegleichgewicht sind. Fertig. Dann kannst du den Punkt loslassen und ggf einen weiteren Punkt ziehen.

Das ganze sollte sich einfach in einen n-dimensionalen Raum übertragen lassen. All you need sind der Satz des Pythagoras, das Federgesetzt und die Vektroadditionsregel.

Ungefähr verstanden?

Grüße,
Jochen

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Hallo Jochen,

erstmal vielen Dank für deine Bemühungen.
Die Idee klingt gut… nur mit der Umsetzung. Hier merk ich mal wieder, dass ich mit mathematischer Theorie nicht so viel anfangen kann…
Kannst Du mir das eventuell auch an einem Beispiel (Pseudocode quasi) zeigen?
Ich brauch keine Rechnung ins Detail, aber so… *schäm*

vg, yeza (eigentlich july *grins* mal wieder die benutzernamen verwechselt…)

4

Hallo July oder yeza,

das Konzept detailliert auch nur in Pseudocode umzusetzen ist schon recht aufwändig. Leider habe ich die Zeit nicht, das zu tun. Obwohl es mich schon reizen würde… Andererseits habe ich ja das Konzept im Groben schon im Text beschrieben, den man ja 1:1 in einen - sehr groben - Pseudocode übersetzten kann.

Versuche doch bitte erst mal, Dich da durchzubeißen. Bei konkreteren Fragen will ich dir auch gerne helfen!

Bis dann, liebe Grüße,

Jochen

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Hi Jochen,

okay, dass mit der Zeit kann ich verstehen (geht mir ähnlich *sfz*).
Nur noch 'ne kleine Frage. Unter welchen Stichwörtern könnte ich näheres dazu im Netz finden, bzw. woher weisst du das (Literatur/ Links)?
Vielleicht kannst Du mir da ja noch nen Tip geben. Würde mich sehr freuen.

Vg, July

6

Hallo July,

ursprünglich hatte ich einfach die Idee, keine Ahnung woher, aber es erschien mir logisch. Gestern abend dann fiel mir ein, was mich wohl auf die Idee gebracht haben mag:

Finite Elemente.

Vorweg: Ich bin kein Finite-Elemente-Methode (FEM) Fachmann. Ich habe eigentlich keine Ahnung davon. Ich habe da mal was drüber gehört. Damit werden Materialverformungen durch Belastungen berechnet, zB. bei simulierten Crash-Tests. Genau das ist es, was du suchst und ich denke das ist auch das, was ich beschrieben hab (bin mir im Detail natürlich nicht sicher, weil ich ja selbst nie damit gearbeitet habe.

ALLERDINGS: Die FEM versucht reale Materialeigenschaften auch in ihrer Dynamik abzubilden. So genau brauchst du das wohl nicht, was die Sache _wesentlich_ einfacher machen sollte! Laß dich also nicht schrecken von der Komplexität der FEM, sondern versuche, die für Dich interessanten Aspekte zu finden und zu verstehen. Trotzdem hier ein paar Sachen zur FEM, wo Du erstmal reinschnuppern kannst.

Es gibt eine Diplomarbeit über FEM bei der DLR OPberpfaffenhofen:

Entwicklung eines Finite Elemente Plattenmodells für die Simulation von flexiblen Mehrkörpersystemen mit großen Rotationen/Deformationen

Die wird betreut von:

R. Schwertassek Tel. 08153/28-2440 und
S. von Dombrowski Tel. 08153/28-2464

Vielleicht kannst du die anrufen und fragen.

Außerdem bietet das rechenzentrum der Uni Hannover eine Reihe Dienstleistungen, welche FEM betreffen. Hier ist der Link:

http://www.rrzn.uni-hannover.de/fem.html

Und bei der TU Claustal gibt’s Skripte und Literaturangaben zur FEM:

http://www.math.tu-clausthal.de/Arbeitsgruppen/Numer…

Hier findest du ein Skript zur numerischen Behandlung von FE, sogar mit einem Leitfaden zur Implementierung (ist aber leider sehr mathematisch):

http://www.ruhr-uni-bochum.de/num1/skripten/Numerik_…

Ich hoffe, das erschreckt dich jetzt nicht alles und hilft dir vielleicht etwas weiter.

Liebe Grüße,
Jochen

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Hi Jochen,

der Begriff Finite Elemente sagt mir was. Ja, das wäre wohl das richtige für mich. Wenn ich allerdings so über das Thema drüber schaue, erweckt es den Eindruck, dass man damit locker den Stoff für 1 Semester zusammenbekommen könnte…
Ich werd mir mal Literatur aus der Bibliothek dazu besorgen, allerding denke ich, dass es für meinen Anwendungsfall wohl zu spät kommt. Eigentlich bin ich am abschließen meiner praktischen Arbeiten und ich glaube die Zeit läßt es nicht zu, dass ich in dieser Hinsicht quasi noch mal von vorn anfange. Glücklicherweise sollte das auch keiner erwarten, aber ich werd wohl in meiner Diplomarbeit die FEM als Verbesserungsaspekt mit einbeziehen.
also noch mal vielen dank für die links und tips. anschauen werd ich es mir auf alle fälle (ist ja ne interessante sache :smile: )

vg, july