Hallo Ederhesse,
Ich sitz an einem Optimierungsproblem, dass ich einfach nicht
rausbekomme. Folgendes:
Ein Student kauft von seinem monatlichen Taschengeld in Höhe
von 120 € in Second-Hand-Shop CDs © und Bücher (B). Seine
Nutzenfunktion lautet
U=U(C,B)= 2*Wurzel C*B
a) Wie viele CDs und Bücher wird er konsumieren, wenn der
Preis für CDs (pC) 6 € beträgt und der Preis für Bücher (pB) 2
€?
Die Lagrangefunktion kann ich mir noch herleiten,
ich komme auf Wurzel *(C*B) + Lambda *(6C+2B)
nur das was danach kommt bereitet mir große :Kopfschmerzen. Mit
Potenzen rechnen ist wahrlich nicht so meins. Vielleicht kann
mir das hier ja mal jemand vorrechnen.
Bevor ich die Lagrange-Funktion nach C, B und Lambda ableite forme ich ein bischen um. Dies mach ich in einer Neberechnung für Dich:
Wurzel(C*B) = Wurzel C * Wurzel B = c^(1/2) * b^(1/2)
Nun lautet also meine -Funktion:
c^(1/2) * b^(1/2) + Lambda ( 6C + 2B - 120)
Jetzt leite ich ab nach C, nach B und nach Lambda
I) 1/2C^(-1/2)*WurzelB + 6 Lambda = 0 (Ableitung nach C)
II) 1/2B^(-1/2)*WurzelC + 2 Lambda = 0 (Ableitung nach B)
III)6C + 2B -120 = 0 (ABleitung nach Lambda)
Nun betrachte ich die blöden Potenzen in I und II und forme die vorsichtig um, weil Du sagtest, Du hast es nicht so mit Potenzen:
1/2 * c^(-1/2) => 1/2 * 1/(c^1/2) => 1/2 * 1/(Wurzel C)
=> 1/(2*WurzelC)
Der Ausdruck 1/2 * B^(-1/2) = 1/(2*WurzelB) (entsprechend)
Also wird aus I und II:
I) 1/(2*WurzelC)* WurzelB = -6
und
II) 1/(2*wurzelB)* WurzelC = -2
Nun setze ich I = 3*II und erhalte:
1/(2*WurzelC)*WurzelB = (1/(2*WurzelB)*WurzelC *3
=> WurzelB / 2*WUrzelC = 3*Wurzel C / 2*Wurzel B
=> 2* Wurzel B * Wurzel B = 3* Wurzel C *2 * WUrzel C
=> B = 3C Einsetzen in III)
=> C*6 + 2*3*C = 120
=> C= 10
=> B = 30
Hoffe, Dir verständlich vorgerechnet zu haben. Bei Rückfragen Mailto [email protected]
