Hallo Zusammen,
bei mir ist Mathe leider etwas her und ich beiß mir gerade die Zähne aus. Evtl. kann mir jemand weiterhelfen.
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Folgende Aufgabenstellung:
Gegeben sind die Funktionen g(x) und f(x) für x >= 0
f(x) ist induktiv definiert:
f(0) = 2
f(1) = 7
für x>=2 gilt:
f(x) = 7 * f(x-1) - 10 * f(x-2)
g(x) = 2^x + 5^x
Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass f(x) = g(x) für jedes x >= 0.
Induktionsanfang für x=2:
g(2) = 2^2 + 5^2
g(2) = 29
f(2) = 7 * f(1) - 10 * f(0)
f(2) = 7 * 7 - 10 * 2
f(2) = 29
f(2) = g(2) (w)
Induktionsvoraussetzung:
2^x + 5^x = 7 * f(x-1) - 10 * f(x-2)
zu zeigen:
g(x+1) = f(x+1) gültig =>
2^(x+1) + 5^(x+1) = 7 * (f((x+1)-1) - 10 * f((x+1)-2)
Induktionsschluss:
2^(x+1) + 5^(x+1) = 7 * f(x) - 10 * f(x-1)
Ab hier steh ich dann auf der Leitung, hat vielleicht jemand einen kleinen Denkanstoß?
Hallo,
f(x) ist induktiv definiert:
f(0) = 2
f(1) = 7
für x>=2 gilt:
f(x) = 7 * f(x-1) - 10 * f(x-2)
g(x) = 2^x + 5^x
Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass f(x)
= g(x) für jedes x >= 0.
Induktionsanfang für x=2:
g(2) = 2^2 + 5^2
Also wenn die Definition mit f(0) anfaengt, dann solltest du den Induktionsanfang auch bei x = 0 machen. Und da fuer x = 1 bitte auch.
Induktionsvoraussetzung:
2^x + 5^x = 7 * f(x-1) - 10 * f(x-2)
zu zeigen:
g(x+1) = f(x+1) gültig =>
2^(x+1) + 5^(x+1) = 7 * (f((x+1)-1) - 10 * f((x+1)-2)
zu zeigen:
f(x) = g(x) => f(x+1) = g(x+1)
Induktionsschluss:
2^(x+1) + 5^(x+1) = 7 * f(x) - 10 * f(x-1)
Ab hier steh ich dann auf der Leitung, hat vielleicht jemand
einen kleinen Denkanstoß?
f(x) durch g(x) ersetzen, und dann die Formel fuer g(x) einsetzen.
Gruesse,
Moritz
Gegeben sind die Funktionen g(x) und f(x) für x >= 0
f(x) ist induktiv definiert:
f(0) = 2
f(1) = 7
für x>=2 gilt:
f(x) = 7 * f(x-1) - 10 * f(x-2)
g(x) = 2^x + 5^x
Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass f(x)
= g(x) für jedes x >= 0.
Hallo, man kann das nur für x≥2 und x=0 und x=1 beweisen, denn woanders ist f ja gar nicht definiert.
Den Induktionsanfang hast du ja schon gemacht.
Die Induktionsannahme ist, dass es ein x1≥2 gibt, sodass für alle x∈[2,x1] gilt f(x)=g(x).
Dann wählst du ε∈[0,1] beliebig.
Es gilt
f(x1+ε)=7f(x1+ε-1)-10f(x1+ε-2)=7g(x1+ε-1)-10g(x1+ε-2)
nach Induktionsannahme.
Jetzt rechnest du die g-Werte aus, fasst ein wenig zusammen und erhälst g(x1+ε)
Da ε∈[0,1] beliebig war, gilt dann
f(x)=g(x) für alle x∈[2,x1+1] und der Beweis ist vollständig.
Gruß
hendrik
Vielen Dank für die Antworten!