hi
(n oben k unten ) = binomische koeffizient
ich will mit vollständige induktion zeigen daß
die summe k = 0 bis n von ( n oben k unten )= 2^n
mit der induktions-anfang und vorraussetztung ist alles ok
nur mit dem induktionsschluß habe ich schwierigkeiten
n —> n+1
zz : summe k = 0 bis n+1 von (n oben k unten )= 2^n+1
summe k = 0 bis n+1 von (n k )= summe k = 0 bis n von (n k)+ summe k = n+1 bis n+1 von (n k )
was kommt danach ???
das ist gleich 2^n +(n+1 k) ???
ich brauche hilfe
merci
Hey Serene,
dafür brauchst du nicht unbedingt die vollstädnige Induktion:
Der Binomialkoeffizient liefert einem die Vorfaktoren bei dem Ausmultiplizieren von
(x+y)^n = B(n,0) x^n y^{n-n} + B(n,1) x^{n-1} y^{1} + \dots + B(n,n) x^0 y^n
Wenn du jetzt für x und y jeweils 1 einsetzt, bekommst du schon das gewünschte.
Meiner Ansicht nach ein viel schönerer Beweis als mit Induktion.
Gruß René
danke für deine Anwort aber ich soll beide beweise zeigen mit vollständige induktion und mit binomialkoeffiezient
ich habe mit der vollständige induktion angefangen aber komme nicht weiter
kannst du mir helfen ?
merci
Hallo!
Dein Induktionsschritt ist nicht richtig. Du musst ja alle n mit n+1 ersetzen.
Also \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k}
Also erstes müsstest du da das 0-te Glied rausnehmen, da das im nächsten Schritt stört.
Der nächste Schritt spaltet nämlich den Binomialkoeeffizienten auf:
{n+1 \choose k} = {n \choose k}+{n \choose k-1}
Damit kannst du dort oben das n hinkriegen.
Unten bekommst du das k wieder hin, indem du den Index der Summe ein bisschen verschiebst.
Falls du was konkreteres brauchst, sag Bescheid.
Nico
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jaaa ich brauche was konkretes bitte melde dich !!!
Also die Induktionsvoraussetzung lasse ich mal weg. Die kriegst du sicher auch so hin…
Die Induktionsbehauptung ist dann also
\sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} = 2^{n+1}
Auseinandernehmen der Summe:
=\sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} + {n+1 \choose n+1}
Entfernen des ersten Glieds der Summe (da ansonsten ein negativer Wert im Binomialkoeffizienten entsteht)
={n+1 \choose 0} + \sum_{k=1}^n {n+1 \choose k}+1
Jetzt die vorher erwähnte Aufsplittung:
=1+\sum_{k=1}^n {n \choose k}+\sum_{k=1}^n{n \choose k-1}+1
Wieder Anfügen des ersten Glieds:
=\sum_{k=0}^n{n \choose k}+\sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}+1
Induktionsvoraussetzung einsetzen und die 1 als n-tes Glied in die letzte Summe reinschieben:
=2^n+\sum_{k=0}^n {n \choose k}
=2^n+2^n=2^n(1+1)=2^n*2=2^{n+1}
q.e.d.
Nico