Hallo,
Durch vollständige Induktion gilt zu zeigen: der Grad von Tn ist gleich n, also fn(x) = x^n
Wie kann ich da vorgehen, denn für eine vollständige Induktion ist ja doch eine Summenformel nötig, die die folgenden n aufaddiert, aber das ist ja hier nicht gegeben.
Denn: f1(x)=x^1 , f2(x)=x^2 , f3(x)=x^3…fn(x)=x^n.
Wie kann ich da eine Allgemeigültigkeit in N beweisen?
Vielen Dank für die Hilfe,
Karl
Hi…
Durch vollständige Induktion gilt zu zeigen: der Grad von Tn
Was genau ist Tn? Temperatur? Theologie? Reifendruck?
ist gleich n, also fn(x) = x^n
Wie kann ich da vorgehen, denn für eine vollständige Induktion
ist ja doch eine Summenformel nötig, die die folgenden n
aufaddiert
Nein.
Du musst zwei Dinge beweisen:
a) Die Behauptung gilt für n=1 (oder anderer Startwert, je nach Aufgabe)
b) Wenn die Behauptung für n gilt, dann gilt sie auch für n+1
Aus diesen beiden Beweisen folgt dann, daß die Behauptung für alle n >= 1 gilt. Ganz ohne Summenformel.
genumi
Hallo,
Durch vollständige Induktion gilt zu zeigen: der Grad von Tn
ist gleich n, also fn(x) = x^n
??
Wie ist denn dein Tn definiert? Ist es das Taylor-Polynom?
Dann wäre die Aussage aber falsch…
Wie kann ich da vorgehen, denn für eine vollständige Induktion
ist ja doch eine Summenformel nötig, die die folgenden n
aufaddiert
Es muss nicht zwingend eine Summe vorhanden sein.
Die Methode eignet sich für viele Aussagen, die „für alle n \in \mathbb N“ gelten.
Oder als Beispiel eine rekursie Folge:
a0 = c
a_n = \sqrt{a_{n-1}}+c
Wenn ich mic recht erinnere, kann man hier über Induktion die Monotonie nachweisen.
mfg,
Ché Netzer
Hätte ich noch allgemeiner formuliert, da es ja nicht zwangsweise um Beweisführungen geht, die bei 0 beginnen.
Bei Wikipedia gibt es eine nette Veranschaulichung
http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induk…
Ich stelle mir immer eine Leiter vor: Die ersten Stufen werden durch konkretes Nachrechnen belegt und dann kommt ein Induktionsschritt, in dem man alle unteren Sprossen nutzen darf, um weiter oben liegende Sprossen herzuleiten. Und mit dieser Regel kann man bis zum Mond hinauf gelangen, wenn dabei alle Sprossen aus den unteren hergeleitet hat.
Ciao, Allesquatsch
Tn steht für ganzrationale Funktionen bzw. Tschebyscheff-Polynome welche gegeben sind:
T0(x)=1, T1(x)=x, und mit Hilfe der Formel:
Tn+1(x)= 2x * Tn(x) - Tn-1(x)
Es soll der Grad von Tn ist gleich n bewiesen werden.
Wie kann ich da A(n) für n = 1 bzw. A(n+1) herleiten?
moin;
Tn steht für ganzrationale Funktionen bzw. Tschebyscheff-Polynome
hui. So etwas hatte ich mir schon gedacht… hätte aber nie mit dieser Schreibweise gerechnet, so wie sie in den Vorlesungen und Übungen immer ausgesprochen wurden…
Wie dem auch sei. Mit diesem rekursiven Zusammenhang ist es doch einfach, diesen Beweis anzutreten:
Für den Induktionsanfang zeigst du, dass der Grad von T0(x)=0 und der Grad von T1(x)=1 ist. Da diese auch den Rekursionsanker bilden und demzufolge gegeben sein müssen, dürfte das nicht allzu kompliziert sein.
Nun weißt du also, dass
Tn(x)=a1xn+a2xn-1+…+an+1 sowie
Tn-1(x)=b1xn-1+b2xn-2+…+bn gilt, mit ai und bi ∈ R ∀ i∈ {1,…,n+1}.
Und jetzt gilt es herauszufinden, welchen Grad Tn+1(x) hat, also setzt du ein:
Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)
=2a1xn+1+2a2xn+…+2an+1x-(b1xn-1+b2xn-2+…+bn)
Ein wenig umgeformt steht hier:
Tn+1(x)=2a1xn+1+2a2xn+(2a3-b1)xn-1+(2a4-b2)xn-2+…+(2an+1-bn-1)x+bn
und der Grad dieses Polynoms ist recht einfach zu bestimmen, besonders da bereits nach x-Potenzen sortiert ist.
mfG