Vollständige Induktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

heute hat der Mathematik-Vorkurs meines Physikstudiums begonnen und in den Übungsstunden haben wir die vollständige Induktion geübt.
Ich muss beweisen, dass folgende Gleichung stimmt:
0,25(n+1)^4 + 0,5(n+1)^3 + 0,25(n+1)^2 = 0,25n^4 + 0,5n^3 + 0,25n^2 + (n+1)^3

Ich möchte jetz die rechte Seite in die gleiche Form bringen wie die linke, nur weiß ich einfach nicht wie ich das hinbekommen soll.
Was ich bereits versucht habe, ist (n+1)^3 auszuschreiben und es irgendwie einzurechnen, erfolglos leider.
Könnt ihr mir weiterhelfen? Am besten mit Tipps die mir auf den Weg helfen und nicht gleich die Lösung :smile:

mfg
der Sohn

PS: ich könnte natürlich beide Seiten einfach ausschreiben, doch wär das zuviel Schreibarbeit, unnötiger Aufwand und unästhetisch :smiley: (Worte meines Dozenten)

#2

Hallo zusammen

Hallo

Ich muss beweisen, dass folgende Gleichung stimmt:
0,25(n+1)^4 + 0,5(n+1)^3 + 0,25(n+1)^2 = 0,25n^4 + 0,5n^3 +
0,25n^2 + (n+1)^3

PS: ich könnte natürlich beide Seiten einfach ausschreiben,
doch wär das zuviel Schreibarbeit, unnötiger Aufwand und
unästhetisch :smiley: (Worte meines Dozenten)

Wenn man es geschickt macht, ist es wesentlich weniger Aufwand als bei der Induktion.
Erst mal kannst du die (n+1)3 auf der rechten Seite nach links bringen und dann die Gleichung mit 4 multiplizieren, damit keine Kommazahlen mehr vorkommen.
(n+1)4-2(n+1)3+(n+1)2=n4+2n3+n2.
Dann ausklammern
(n+1)2((n+1)2-2(n+1)+1)=n2(n2+2n+1)
Da lachen einen die binomischen Formel doch förmlich an.
(n+1)2((n+1)-1)2=n2(n+1)2
Die letzte Gleichung ist offensichtlich richtig, also stimmt auch die erste, denn alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen.

Gruß

hendrik

#3

Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort, doch mein Problem ist leider, dass wir die rechte Seite der Gleichung in exakt die selbe Form bringen müssen, wie wir sie Links stehen haben.
Im Idealfall sollen wir mit der linken Seite nicht rechnen, sondern die rechte soweit umformen, dass es passt.

#4

Im Idealfall sollen wir mit der linken Seite nicht rechnen,
sondern die rechte soweit umformen, dass es passt.

Vielleicht hilft dir ja diese Umformung weiter.
0,25n4+0,5n3+0,25n2+(n+1)3
=0,25n4+0,25n3+0,25n3+0,25n2+(n+1)3
Ausklammern beim ersten und zweiten sowie beim dritten und vierten Summanden liefert
0,25n3(n+1)+0,25n2(n+1)+(n+1)3
=(n+1)(0,25n3+0,25n2)+(n+1)3
=(n+1)0,25n2(n+1)+(n+1)3
=(n+1)20,25n2+(n+1)3
=(n+1)2(0,25n2+n+1)
=(n+1)20,25(n2+4n+4)
=0,25(n+1)2(n+2)2

Gruß

hendrik

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#5

Wie komm ich von der Form =0,25(n+1)^2(n+2)^2
jetzt auf 0,25(n+1)^4 + 0,5(n+1)^3 + 0,25(n+1)^2?

Ich steig leider noch immer nicht durch =/

#6

Wie komm ich von der Form =0,25(n+1)^2(n+2)^2
jetzt auf 0,25(n+1)^4 + 0,5(n+1)^3 + 0,25(n+1)^2?

Zum Beispiel so:
0,25(n+1)2(n+2)2
=0,25(n+1)2((n+1)+1)2
=0,25(n+1)2((n+1)2+2(n+1)+1)
=0,25(n+1)4+0,5(n+1)3+0,25(n+1)2

Gruß

hendrik

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#7

STERNCHEN VON MIR!
Hab zwar schon lange nichts mehr in der Sache gemacht aber dafür gibts ein Sternchen.
Zeulino

#8

STERNCHEN VON MIR!

Vielen Dank!

hendrik

#9

Vielen Dank für die Mühe, ich muss mich wohl noch etwas im Umformen üben, von selbst wär ich leider nicht drauf gekommen.

#10

Danke auch!
owT