Ich hänge gerade wieder an einer Aufgabe, die einfach zu „tricky“ für mich ist. Vielleicht könnt ihr mir wieder einen guten Tipp geben.
Aufgabe lautet so:
Durch vollständige Induktion für n Element von N^+ ergibt sich folgendes: wenn unter n Studenten wenigstens einer weiblich ist, sind alle weiblich.
Beweis: die Behauptung gilt für n=1. Die Induktionsannahme ist, dass die Behauptung für n Element von N^+ gilt und im Induktionsschritt wird daraus hergeleitet, dass die Behauptung auch für n+1 gilt.
Das geschieht so: es werden n+1 Studenten betrachtet, von denen mindestens einer weiblich ist. Wir stellen sie so auf, dass sich unter den ersten n Studenten ein weiblicher befindet.
Daraus ergibt sich durch die Induktionsannahme, dass die ersten n Studenten weiblich sind.
Dann ist unter den letzten n Studenten wenigstens ein weblicher. Durch die Induktionsannahme ergibt sich auch hier, dass alle Studenten weiblich sind.
Also sind n+1 Studenten weiblich, d.h. alle Studenten sind weiblich.
Wo ist der Haken?
Mir ist bei der Aufgabe klar, dass da etwas „nicht stimmen kann“, aber ich weiss nicht, wo genau der Denkfehler steckt, denn im allgemeinen kann ich das rein mathematisch nachvollziehen.
Dann ist unter den letzten n Studenten wenigstens ein
weblicher.
Dieser Schluss „n=>n+1“ gilt nämlich nicht für alle n, sondern nur für n>=2, damit wird der Induktionsanfang n=1 gar nicht erfasst und die Induktion kann gar nicht erst starten.
Hallo,
der Induktionsschluß setzt vorraus, daß die Menge der ersten n Studenten und die der letzten n Studenten sich überlappen. Das ist für n=1 (und entsprechend n+1=2) nicht der Fall.
Hallo,
der Induktionsschluß setzt vorraus, daß die Menge der ersten n
Studenten und die der letzten n Studenten sich überlappen. Das
ist für n=1 (und entsprechend n+1=2) nicht der Fall.
Ich muss doch jetzt noch einmal nachfragen, da ich aus den Antworten hier und auch den Mails die ich bekommen habe (übrigens danke, dass ihr euch so viel Arbeit macht), noch nicht ganz schlau geworden bin.
n=1 ist doch nur der Induktionsanfang.
Warum sollte man sich dann auf die Fälle n=1 und n+1=2 beschränken?
wenn die vollständige Induktion funktionieren soll müssen zwei Bedingungen erfüllt sein.
1.) A(1)=„wahr“: die Aussage ist für n=1 wahr
2.) A(n) => A(n+1): aus der Richtigkeit von A(n) folgt die Richtigkeit von A(n+1).
die zweite Bedingung muss natürlich für alle n gelten, insbesondere für n=1 !!!
Und genau das ist bei deinem Beispiel nicht erfüllt.
Die Kernaussagge für den Induktionsschluss in deinem Beispiel ist nämlich:
Die ersten n und die letzten n Zahlen einer (n+1)-elementigen Folge überschneiden sich in der Mitte.
Und eben das gilt nicht für n=1 und damit funktioniert die Induktion nicht.
Und genau das ist bei deinem Beispiel nicht erfüllt.
Die Kernaussagge für den Induktionsschluss in deinem Beispiel
ist nämlich:
Die ersten n und die letzten n Zahlen einer (n+1)-elementigen
Folge überschneiden sich in der Mitte.
Und eben das gilt nicht für n=1 und damit funktioniert die
Induktion nicht.