Hallo René,
Jetzt habe ich allerdings in einer Erklärung zur
Integralrechnung eine Formel zur Berechnung der vollständigen
Induktion gefunden, weiß aber nicht wie die hergeleitet wurde
Was dir Michael sagen wollte: Hier wirfst du Begriffe durcheinander. Die vollständige Induktion ist nicht das, was du mit der Formel berechnen willst, sondern die Methode, mit der die Formel bewiesen wurde. Dazu gleich mehr
(bin da immer kleinlich^^ will die Formel verstehen bevor ich
sie gedankenlos benutzen kann).
Sehr löblich!
((n+1)n(2n+1))/6
Kann mir jemand eine Seite sagen in der diese her geleitet
wird bzw. kann sie mir herleiten?
Wo wie das oben dasteht, fehlt noch eine Seite der Gleichung. Mit einer Formel willst du ja etwas ausrechnen und dazu musst du noch angeben was.
Also z.B. Fläche_Quadrat= a²
Aber inzwischen hast du unten ja geschrieben, dass es um die Summe der Quadratzahlen geht:
(1+4+9+ … + (n-1)^{2})= \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)
Da du vorhin etwas von vollständiger Induktion geschrieben hast, gehe ich mal davon aus, dass die Formel in deinem Buch damit bewiesen wurde.
Wie oben schon geschrieben: Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode. In deinem Fall willst du beweisen, dass obige Formel für alle n gilt. Etwas allgemeines zur Methode: http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files…
Die Idee dahinter ist folgende:
- Man zeigt, dass die Formel für eine kleine Zahl (normalerweise für 1) richtig ist (Induktionsanfang).
- Dann sagt man: Nehmen wir an, die Formel stimmt bis zur Zahl n (Induktionsvoraussetzung).
- Jetzt kommt der wichtige Teil: Du zeigst, dass wenn die Formel für n stimmt, dass sie auch für n+1 stimmt (Induktionsschluss)
Du hast jetzt also gezeigt, dass deine Formel am Anfang (z.B. n=1) stimmt und dass wenn sie für n=1 stimmt, dann auch für n=2 und damit auch für n=3, usw.
In deinem Fall:
zu beweisen:
(1+4+9+ … + (n-1)^{2})= \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)
Induktionsanfang:
Stimmt die Formel bis n=1? Auf beiden Seiten bis n=1: 0= 0 -> Stimmt also.
Induktionsvoraussetzung :
Wir nehmen an, die Formel (1+4+9+ … + (n-1)^{2})= \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) stimmt für n.
Induktionsschluss:
Zu zeigen: Wenn Formel für n stimmt, dann stimmt sie auch für n+1.
(1+4+9+ … + (n-1)^{2}+n^2)= \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) + n^2 = \frac{1}{6}[(n-1)n(2n-1) + 6n^2] = … = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)
Damit stimmt die Formel für n+1. Das kannst du überprüfen, wenn du in deiner Originalformel auf der rechten Seite überall (n+1) schreibst, wo n stand.
Hoffe, die Idee kam einigermaßen rüber, bin gerade etwas schreibfaul 
Also schreib nochmal, wenn etwas unklar war.
Etwas schöner dargestellt gibt’s das ganze noch hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenf… (im zweiten Teil)
Viele Grüße
Kati
