Ich hab hier einen komplexeren fall, als Beispiel für Vollständige Induktion. Ich bin bis zum Beweis vorgedrungen, erhalte am Ende aber keine wahre Aussage. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Ist Hausaufgabe für Mathematik im Physikdiplom, erstes Semester :
Beweisen sie dass für alle n größer gleich 1 gilt:
x^n - a^n = (x - a) * Summe von j=0 bis n-1 von x^(n-1-j) * a^j
Ist jetzt mit der Darstellung ein bischen schwierig, aber ich hoffe man kann erkennen, was gemeint ist. für den konkreten fall n=1 hab ichs gezeigt… später sollte man ein summen gesetz anwenden um weiter zu kommen, soweit hab ichs geschafft, aber wie gesagt, ich erhalte keine wahre aussage.
Mit freundlichen grüßen
Skygazer
hi,
durch vollständige induktion? warum?
wenn du (x^n - a^n) durch (x - a) durchdividierst, kriegst du die angegebene summe. induktion ist da nicht nötig. (meine ich.)
m.
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Hi
Ich habe auch noch nicht gesehen, wie das mit vollständiger Induktion elegant gehen soll. Aber wem das Dividieren nicht behagt, kann auch die rechte Seite ausmultiplizieren und dann die (vielen) in beiden Summen vorkommenden Terme (einmal mit +, einmal mit -) streichen. Was übrig bleibt ist die linke Seite.
Gruss Urs
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Haha, der Prof hats verbockt: Es kann auch keine vernünftige Lösung rauskommen, weil er sich vertippt hat. Es muss heißen:
xn - an = (x - a) * Summe von j=0 bis n-1 von x(n - 1 + j) * a^j
das „minus“ im Exponenten hat nicht gestimmt.
Lach nicht zu früh. Ich bin der Meinung, dass die ursprüngliche Formel absolut korrekt ist und Dein Prof recht hat. Und die beiden Beweise zeigen das auch. Ich glaube eher, dass Du die Formel falsch verstanden hast.
Als Beispiel der Fall n=2:
Die ursprüngliche Formel besagt x^2-a^2=(x-a)(x+a), was man auch schnell direkt nachrechnet. Während Deine Formel behauptet, dass x^2-a^2=(x-a)(x+x^2a)=(x^2+x^3a-ax-x^3a^2, was im Allgemeinen falsch ist.
Ebenso einfach kann man den Fall n=3 betrachten.
Gruss Urs
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tja, urs, die jungen leute …
*gggg*
neinnein, mein lieber; die potenzen für x und a nehmen nicht parallel zu, sondern entwickeln sich gegenläufig.
m.