Hallo, ich muss zu folgender Aufgabe mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigen bei einer Matrix A €K^(nxn) und n eine natüriche Zahl, dass Lambda(L) ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v ist, dann ist Lambda^n (L^n) ein Eigenwert von A^n zum Eigenvektor v???
Wie gehe ich hier vor diese vollständige Induktion durchzuführen???
lg Daniel
…mit Hilfe der
vollständigen Induktion zeigen bei einer Matrix A €K^(nxn) und
n eine natüriche Zahl, dass Lambda(L) ein Eigenwert von A zum
Eigenvektor v ist, dann ist Lambda^n (L^n) ein Eigenwert von
A^n zum Eigenvektor v???
I.anfang: A v = λ v. Keine weiteren Worte nötig (Definition Eigenwert). I.voraussetzung: An v = λn v sei wahr. I.schritt: Gezeigt werden muss An+1 v = λn+1 v. Sehr anspruchsvoller Beweis (zweites Gleichheitszeichen durch I.voraussetzung gerechtfertigt, viertes durch I.anfang): An+1 v = A An v = A λn v = λn A v = λn λ v = λn+1 v.
Gruß
Martin
Oh man, hey vielen Dank, das ist ja einfacher als gedacht, aber ich sitze eben schon ne Stunde davor und grüble und du siehst eben was zu tun ist, das ist der Unterschied!!!
Darf ich dich nochmal um einen Zusatz dieser Aufgabe fragen, wie ich hier vorgehen muss? Und zwar:
Soll die folgende Bedingung wiederlegt werden: Ist Lambda ein Eigenwert von A^n, dann ist n-te Wurzel(Lambda) ein Eigenwert von A.
Als Hinweis wurde gegeben: In „kleinen“ Räumen lassen sich für kleine n schöne Gegenbeispiele finden. ???
Wäre stark wenn ich auch hier etwas Hilfe bekommen könnte!!!
lg Daniel
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aber ich sitze eben schon ne Stunde davor und grüble
Hoffentlich kommst Du nicht irgendwann in die Verlegenheit, Dich einer Klausur oder desgleichen unterziehen zu müssen.
Soll die folgende Bedingung wiederlegt werden: Ist Lambda ein
Eigenwert von A^n, dann ist n-te Wurzel(Lambda) ein Eigenwert
von A.
Als Hinweis wurde gegeben: In „kleinen“ Räumen lassen sich für
kleine n schöne Gegenbeispiele finden. ???
Nix „???“. Was soll daran unverständlich sein? Wenn Du z. B. nur eine einzige 2x2-Matrix X mit der Eigenschaft gefunden hast, dass X2 den Eigenwert λ = 9 hat, aber andererseits √λ = 3 kein Eigenwert von X ist, hast Du die Aufgabe schon gelöst.
Ich werde an der Suche übrigens nicht teilnehmen, und irgendeine Matrix abschreibfertig liefern schon gar nicht. Tut mir leid. Aber ich wünsch Dir viel Erfolg 
Gruß
Martin
Hi, also ich habe eine Matrix gefunden, die quadriert die Eigenwerte 9 und 4 hat, wenn ich aus denen die Wurzel nun ziehe erhalte ich die Werte 3 und 2. Und diese beiden sind auch meine Eigenwerte der Matrix nicht quadriert!!! D.h. dass die Behauptung stimmt und gar nicht zu widerlegen ist oder? anstonsten gilt es ja nicht für jede beliebige Matrix??
lg Daniel
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Hi, also ich habe eine Matrix gefunden, die quadriert die
Eigenwerte 9 und 4 hat, wenn ich aus denen die Wurzel nun
ziehe erhalte ich die Werte 3 und 2.
Und diese beiden sind
auch meine Eigenwerte der Matrix nicht quadriert!!! D.h. dass
die Behauptung stimmt und gar nicht zu widerlegen ist oder?
Die Behauptung lautet doch
„wenn λ ein EW von An ist, dann ist nicht unbedingt n√λ auch ein EW von A“.
Wenn Du eine Matrix A findest, bei der λ ein EW von An ist, aber n√λ auch ein EW von A, dann hast Du die Behauptung damit weder bewiesen noch widerlegt.
Aber um nicht wieder einen ellenlangen Thread zu produzieren und Dir weiteres stundenlanges Grübeln zu ersparen, hier ein Gegenbeispiel zu der Behauptung: A = (–3) hat den EW σ = –3, A2 = (9) hat den EW λ = 9. Es ist √λ = 3 ≠ σ.
Gruß
Martin