Hallo
also ich muss eine Aufgabe zu der vollständigen Induktion lösen.
Ich dachte eigentlich ich hätte verstanden was die vollständige Induktion wäre, aber nach dieser Aufgabe bin ich mir nich mehr so sicher.
Was ich weiss, ist halt dass die vollständige Induktion zum Beweis von Behauptngen dient.
Also die Aufgabe lautet:
k!=>2^k-1
Induktionsbeginn ist k=1
1=>1
das muss ich jetzt für k+1 machen
heißt dann:
k!+k+1
so und da komme ich nich mehr weiter.
Kann mir bitte jemand helfen???
Sonst verweifle ich noch an dieser Aufgabe *heul*
Hallo
also ich muss eine Aufgabe zu der vollständigen Induktion
lösen.
Also die Aufgabe lautet:
k!=>2^k-1
„Aus k! folgt 2^k -1“
Das soll eine Aufgabenstellung sein!? Wenn du die Aufgabenstellung noch einmal etwas genauer, konkreter und ausführlicher posten würdest, hättest du ne echt Chance, Hilfe zu bekommen.
Gruß
Daniel
Also die Aufgabe lautet:
k!=>2^k-1
„Aus k! folgt 2^k -1“
Ich glaube, Deniz meint
„k! größergleich 2^k - 1“,
was man normalerweise mit „>=“ statt „=>“ schreiben würde.
Andreas
Also die Aufgabe lautet:
k!=>2^k-1
„Aus k! folgt 2^k -1“
Ich glaube, Deniz meint
„k! größergleich 2^k - 1“,
was man normalerweise mit „>=“ statt „=>“ schreiben
würde.
Hallo Andreas,
da macht das ganze schon viel mehr Sinn 
Dennoch reicht IMHO die einfache Angabe einer Gleichung bzw. Ungleichung nicht als Aufgabenstellung aus. Was soll denn gezeigt werden? Dass „k! größergleich 2^k - 1“ für alle k aus N gilt, oder nur für bestimmte k größer oder kleiner als irgendein bestimmtes k, oder für kein k aus N,…
Fragen über Fragen.
Andreas
Gruß
Daniel
Hi Deniz,
keine Panik.
Den Anfang hast Du ja schon.
Zu zeigen:
k! ≥ 2<sup>k-1</sup>
Induktionsanfang f. k=1:
1! ≥ 2<sup>0</sup>
(Beweis durch scharf hingucken)
Fehlt also noch der Induktionsschritt von k nach k+1:
"Wenn ich annehme, dass
k! ≥ 2<sup>k-1</sup>,
dann kann ich zeigen, dass
(k+1)! ≥ 2<sup>k</sup>."
Jetzt müsstest Du überlegen, wie Du die Ungleichung
(k+1)! ≥ 2<sup>k</sup>
so umformst, dass Du irgendwie mit der Vorraussetzung
k! ≥ 2<sup>k-1</sup>
argumentieren kannst.
Hinweis (falls das kein Schreibfehler war): Fakultät heißt multiplizieren, nicht addieren, d.h. das hier
k!+k+1
war Murks!
Gruß,
Ralf
Hi Daniel,
Dennoch reicht IMHO die einfache Angabe einer Gleichung bzw.
Ungleichung nicht als Aufgabenstellung aus. Was soll denn
gezeigt werden? Dass „k! größergleich 2^k - 1“ für alle k aus
N gilt, oder nur für bestimmte k größer oder kleiner als
irgendein bestimmtes k, oder für kein k aus N,…
Fragen über Fragen.
ja, die Angabe fehlt noch, um die Behauptung komplett zu machen. Für k = 2 und k = 3 gilt die Ungleichung nicht; eine Behauptung könnte sein, dass sie für alle k aus N mit k >= 4 gilt. Warten wir mal ab, was Deniz dazu meint.
Andreas
Zu zeigen:
k! ≥ 2k-1
Ah, da fehlten bei Deniz ein paar Klammern, so dass die „-1“ im Exponenten landet … Danke, so ergibt die Behauptung noch mehr Sinn (und gilt wirklich für alle k aus N).
Andreas
Also folgendes steht in der Aufgabenstellung
"Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle k element N gilt:
k!=>2^k-1 "
ich hab mir auch heute den Kopf darüber zerbrochen wie ich das machen kann, aber ich komm einfach nicht drauf^^!
"Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für
alle k element N gilt:
k!=>2^k-1 "
Falls dort wie schon vermutet nicht (2^k)-1, sondern 2^(k-1) steht, hat Ralf dir schon den größten Teil vorbereitet. Es fehlt nur noch ein ganz kleiner Schritt.
ich hab mir auch heute den Kopf darüber zerbrochen wie ich das
machen kann, aber ich komm einfach nicht drauf^^!
Denk mal ausgehend vom Ende von Ralfs Überlegungen, um zu zeigen, dass
(k+1)! \>= 2^(k+1-1)
auf beiden Seiten in dieser Richtung weiter:
(k+1)! = k! \* (k+1)
2^(k+1-1) = 2^(k-1) \* 2
Und denk daran, dass du k! >= 2^(k-1) als Voraussetzung verwenden darfst! Du musst dich also nur noch fragen, was diese zusätzlichen Faktoren auf beiden Seiten der Ungleichung bewirken (k+1 bzw. 2) …
Andreas