Vollständige Induktion - Lösung nachvollziehen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,
ich habe eine Lösung zu einer vollständigen Induktion die ich aber nicht ganz nachvollziehen kann:

p(n\ge3) : 2^n > 2n + 1

i)

2^2 > 2*2 + 1 (n=2)

4

ii)

p(n\ge3) : 2^n > 2n + 1

iii)

\begin{eqnarray}
2^n > 2n + 1 \
2^{n+1} > 2(n+1) + 1 \
2^n*2 > 2*n+1+2 \
2^n > 2

\end{eqnarray}

Insbesondere geht es mir darum, wie ich vom dritten in den vierten Schritt komme. Denn auch wenn ich die 2 auf beiden Seiten streichen kann, habe ich auf der rechten Seite, anders als in der Lösung, noch n+3 stehen.

Vielen Dank schon jetzt.

Mit freundlichen Grüßen

G-Fire

2

Hallo,

ich habe eine Lösung zu einer vollständigen Induktion die ich
aber nicht ganz nachvollziehen kann:

p(n\ge3) : 2^n > 2n + 1

i)

2^2 > 2*2 + 1 (n=2)

4

na na, es geht doch erst bei n = 3 los?!

iii)

\begin{eqnarray}
2^n > 2n + 1 \
2^{n+1} > 2(n+1) + 1 \
2^n*2 > 2*n+1+2 \
2^n > 2

\end{eqnarray}

Insbesondere geht es mir darum, wie ich vom dritten in den
vierten Schritt komme.

Dahinter steckt der Satz, dass gleichsinnige Ungleichungen addiert werden „dürfen“:

\textnormal{Aus}::
a_1 > b_1
::\textnormal{und}::
a_2 > b_2
::\textnormal{folgt}::
a_1 + a_2 > b_1 + b_2

(Der umgekehrte Schluss ist natürlich nicht zulässig.)

Dieser Satz kommt hier so zur Anwendung:

\textnormal{Aus}::
2^n > 2
::\textnormal{und}::
2^n > 2 n + 1
::\textnormal{folgt}::
2^n + 2^n > 2 + 2 n + 1

Dabei ist 2n > 2 klar und bei 2n > 2 n + 1 handelt es sich um die Induktionsvoraussetzung (oder -annahme).

\Longleftrightarrow\quad2 \cdot 2^n > 2 n + 2 + 1

\Longleftrightarrow\quad 2^{n+1} > 2 (n + 1) + 1

Et voilá: Das ist erfreulicherweise gerade die Induktionsbehauptung.

Gruß
Martin

3

Vielen Dank!
Vielen Dank,
hört sich plausibel an. Ich werde das morgen früh nochmal in Ruhe überprüfen.

und…

2^2 > 2*2 + 1 (n=2)

4

na na, es geht doch erst bei n = 3 los?!

Stimmt, das ist natürlich Murks… Zur Richtigstellung:

2^3 > 2*3 + 1 (n=3)

8 > 7 \checkmark

schon besser :smile:

MfG G-Fire