Hallo,
woher kommt denn das, dass eine Addition bzw. Multiplikation für natürliche Zahlen auch wieder eine natürliche Zahl zurückgibt?
Reicht es zu sagen, dass man jede natürliche Zahl, außer die 0 und 1, durch die Addition bzw. Multiplikation bilden kann bzw. definieren kann?
Und wie macht man es bei reellen Zahlen?
Sind das Axiome, weil es einsichtig ist, dass dort nur eine natürliche bzw. reelle Zahl rauskommen kann oder gibt es dafür einen Beweis?
Danke für eine Antwort
Gruß
Tim
Hallo,
woher kommt denn das, dass eine Addition bzw. Multiplikation
für natürliche Zahlen auch wieder eine natürliche Zahl
zurückgibt?Reicht es zu sagen, dass man jede natürliche Zahl, außer die 0
und 1, durch die Addition bzw. Multiplikation bilden kann bzw.
definieren kann?
Kommt drauf an wem. Einigen würde es reichen, anderen nicht.
Du kannst natürliche Zahlen (inklusive 0) so definieren:
Die Nat. Zahlen sind die kleinste Menge mit den folgenden Eigenschaften:
0 ist in den Natürlichen Zahlen
Ist n in den Natürlichen Zahlen, so ist auch der Nachfolger von N in den natürlichen Zahlen
Im folgenden schreibe ich succ(x) für den Nachfolger (successor) von x.
Dann kannst du a + b definieren als:
a + b = a für b = 0
a + succ(b) = succ(a) + b
Analog dazu kannst du auch * auf + rekursiv zurückführen.
Und wie macht man es bei reellen Zahlen?
Mit Brüchen.
Sind das Axiome, weil es einsichtig ist, dass dort nur eine
natürliche bzw. reelle Zahl rauskommen kann oder gibt es dafür
einen Beweis?
Das folgt aus der Art, wie man die natürlichen Zahlen und die arithmetischen Operationen definiert.
Grüße,
Moritz
Und wie macht man es bei reellen Zahlen?
Mit Brüchen.
Gut, aber man hat ja hier nicht die Möglichkeit mit einem konkreten Nachfolger zu bilden.
Oder kann man sagen, dass man einen beliebig nahen Nachfolger hat, der dann auch eine reelle Zahl sein muss.
Würde das ebenfalls schon als Axiom gültig sein ohne näheren Beweis?
Vielen Dank
Gruß
Tim
Hallo,
Und wie macht man es bei reellen Zahlen?
Mit Brüchen.
Gut, aber man hat ja hier nicht die Möglichkeit mit einem
konkreten Nachfolger zu bilden.
Braucht man auch nicht, wenn man einen Bruch als Paar von Zahlen auffasst:
Eine Reelle Zahl x definiert man als Paar (Zähler, Nenner), wobei Zähler und Nenner natürliche Zahlen sind.
Dann erklärt man noch, dass man die Natürliche Zahl x als identisch mit (x, 1) betrachtet, definiert noch dass Brüche mit gleichem Wert identisch sind, d.h. wenn man sie auf den gleichen Bruch kürzen kann, und erklärt dann die Operationen + und *.
(a, b) + (c, d) =def (d*a + b*c , b*d)
(a, b) * (c, d) =def (a*b, c * d)
Und schon ist man wieder bei der Abgeschlossenheit. Dann muss man noch zeigen, dass die Rechenoperationen der natürlichen Zahlen nicht verletzt werden, wenn man sie als Brüche betrachtet, d.h.
(a, 1) * b = a * b
usw.
Normalerweise schreibt man einen Bruch a/b anstatt (a, b), aber letzteres ist naheligiender wenn man ihn als Zahlenpaar definiert.
Grüße,
Moritz
Braucht man auch nicht, wenn man einen Bruch als Paar von
Zahlen auffasst:
Ja, stimmt. Wenn die Zahlenpaare natürliche Zahlen sind, dann bleiben diese ja trotz Rechenoperationen natürliche Zahlen (das hatten wir ja schon zuvor mehr oder weniger als Axiom eingeführt) und ein Zahlenpaar aus natürlichen Zahlen ist eben eine reelle Zahl, stimmts?