Hallo.
Bei einem Körper soll das Volumen berechnet werden. Die Grundfläche des Körpers ist ein Halbkreis mit dem Radius r=4. Die zur geraden Seite des Halbkreises senkrechten Ebenen schneiden jeweils gleichseitige Dreiecke aus dem Körper.
Der körper muß also spitz zulaufen und an der Spitze die Höhe 4 haben. Die Spitze muß über dem Punkt liegen, der sich im halben Abstand zwischen dem Mittelpunkt der geraden Seite der Grundfläche und dem Mittelpunkt des Halbkreisbogens befindet.
Ich gehe davon aus, daß das gesuchte Volumen 1/3 des Volumens eines Kegels ist, dessen Höhe 8 und dessen Grundfläche ein Kreis mit dem Radius r=4 ist.
Stimmt diese Annahme?
Grüße
Ostlandreiter
Der körper muß also spitz zulaufen und an der Spitze die Höhe
4 haben.
Ne, Höhe 4 passt nicht, die Kantenlänge muss 4 sein, d.h. für die Höhe kommt Wurzel aus (4^2 - 2^2) raus.
Die Spitze muß über dem Punkt liegen, der sich im
halben Abstand zwischen dem Mittelpunkt der geraden Seite der
Grundfläche und dem Mittelpunkt des Halbkreisbogens befindet.
Das klingt richtig, allerdings halte ich den Begriff Spitze für irreführend. Angemessener scheint mir ‚höchster Punkt der obersten Kante‘.
Ich gehe davon aus, daß das gesuchte Volumen 1/3 des Volumens
eines Kegels ist, dessen Höhe 8 und dessen Grundfläche ein
Kreis mit dem Radius r=4 ist.
Stimmt diese Annahme?
Unwahrscheinlich. Der Kegel, den du beschreibst hat die doppelte Grundfläche und die doppelte Höhe bei (im nicht mathematischem Sinne) ähnlicher Form. Ich würde eher auf das halbe Volumen eine Kegels mit Höhe wie oben berechnet und Radius 4 rechnen, aber raten ist bei solchen Dingen ein mäßig guter Weg.
Ne vernünftige Antwort bekommt man wohl nur, wenn man das Ding integriert.
Jens
Hi…
Bei einem Körper soll das Volumen berechnet werden. Die
Grundfläche des Körpers ist ein Halbkreis mit dem Radius r=4.
Die zur geraden Seite des Halbkreises senkrechten Ebenen
schneiden jeweils gleichseitige Dreiecke aus dem Körper.
Es gibt drei Körperformen, die diese Bedingungen erfüllen:
Form 1:
Ein keilförmiger Ausschnitt aus einem Zylinder kreisförmiger Grundfläche. Der gegebene Halbkreis liegt auf der ersten Schnittebene; diese ist parallel zur Zylindergrundfläche, die zweite Schnittebene trifft die erste an der geraden Kante des Halbkreises unter einem Winkel von 45°.
Form 2:
Ein keilförmiger Ausschnitt aus einem Zylinder elliptischer Grundfläche. D.h. der Körper hat eine zweite flache Seite, ebenfalls ein Halbkreis mit Radius 4; die geraden Seiten der beiden Halbkreise sind identisch. Der Winkel zwischen beiden Schnittebenen ist beliebig im Intervall ]0°;180°[
Form 3:
(Noch) komplizierter zu erklären:
Die untere Fläche ist der gegebene Halbkreis. Die obere Kante ist eine halbe Ellipse. Die großen Halbachsen dieser Ellipse liegen genau über der geraden Kante des Halbkreises und haben die Länge r, die kleinen Halbachsen haben die Länge r/2. Die Ebene der Ellipse ist parallel zu der des Halbkreises.
Die Höhe des Körpers ist beliebig größer 0.
Mit den vorhandenen Angaben kann nur das Volumen von Form 1 berechnet werden.
genumi
Danke für die Antworten - selbstverständlich muß die Höhe nicht 4 sein, sondern die Seitenlänge.
Meine Annahme mit dem dreifachen Volumen betrifft dann auch nicht einen Kegel der Höhe 8 und auch nicht mit der Seitenlänge 8, sondern, nachdem ja die schrägen Längen des gesuchten Körpers im Winkel von 60° zum Grundriß stehen, einen Kegel mit der schrägen Seitenlänge 6 bei einem kreisförmigen Grundriß mit dem Radius 4.
Grüße,
Ostlandreiter
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Gut, Integrieren geht über Spekulieren.
Jetzt setze ich die gerade Halbkreisseite entlang der x-Achse, den Halbkreisbogen auf die x-y-Ebene und die Höhe in die z-Ebene.
Mir ist die Formel bekannt, nach der das Integral zwischen a und b von q(x) nach dx ist, q(x) ist dabei der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks, das die durch den Punkt x laufende, zur y-z-Ebene parallele Ebene aus dem Körper schneidet.
Beim größten Dreieck, bei x = Mitte der geraden Seite, ist wg. der Seitenlänge 4 und Radius 4 also q(x)= 2 mal Wurzel aus (4²-2²), also Wurzel 1/2r mal Wurzel aus (r² - [1/2r]²).
Allgemein ist dann q(x)= 1/2z mal Wurzel aus (z²-[1/2z]²).
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich aus der Angabe r=4 die Werte für z und somit die Flächeninhalte bekomme. Ist das überhaupt möglich?
Grüße
Ostlandreiter