Wie berechne ich das Volumen einer Kugelkappe in Kugelkoordinaten (in Abhängigkeit von r, theta und phi).
Das Problem war, daß eine Kugel in der Höhe h von einer Ebene geschnitten wird. Es sollte 1/3*pi*h^2(3R-h) rauskommen. Ich habe das Problem, die Integrationsgrenzen festzulegen.
Beth
Bei Deiner Koordinaten-Trafo erhälst Du einen Ausdruck z=r*cos(phi). Nun wählst Du Deine Integrationsgrenzen einfach so, dass z nur im gewünschten Bereich liegt(also den Winkel entsprechend wählen, nicht dein r).
ciao
ralf
Huhu,
nun muss ich doch nochmal einen Beitrag hier leisten. Erst dachte ich mir, Deine Frage wuerde genauso viel Resonanz bringen wie die juengsten Anfragen. Nun gut…hier mein Tip:
Das Volumen des Kugelabschnittes mit Hilfe von Kugelkoordinaten zu berechnen ist nicht gerade die effektivste Methode, aber man kommt durch. Man braucht sich nur nicht abschrecken zu lassen. Eleganter ist uebrigens mittels Zylinderkoordinaten…
Es gilt:
V = III r² sin(t) dr dt dp
III -> dreifach Integral ueber r,t,p
r -> radialer Abstand vom Zentrum (0,0,0) r[0,R]
t -> Winkel Theta von der z-Achse gemessen t[0,pi]
p -> Winkel in der x,y-Ebene p[0,2pi]
pi -> 3,141592654 oder so…
h -> Hoehe der Schale in z-Richtung vom Pol aus gesehen
R -> Radius der Kugel
In Deinem Fall lauten die Integrationsgrenzen:
p [0,2pi]
t [0,arccos(1-h/R)]
r [(R-h)/cos(t),R]
Wie Du siehst kann man nach „Schwarz“ die Integrationsreihenfolge bzgl. t und r nicht vertauschen, da die Integrationsgrenze fuer r vom Winkel t abhaengt. Die Integration nach p ist simple:
V = 2pi II r² sin(t) dr dt
Fuer die Integration bzgl. r² gilt als Stammfunktion:
Stammfunktion von r² -> 1/3 r³
Weiterhin braucht man folgende Stamfunktionen bei der letzten Integration nach t:
Stammfunktion von sin(t) -> -cos(t)
Stammfunktion von sin(t)/cos³(t) -> 1/2 * 1/cos²(t)
Wie Du siehst treten nur cos()-Funktionen bei der letzten Integration nach t auf. Deshalb gilt beim Einsetzen der Integrationsgrenzen:
cos(0) = 1
cos(arccos(1-h/R)) = 1-h/R
Und man komt in der Tat zu dem Ergebnis:
V = 1/3 pi h² (3R-h)
Ich habs nachgerechnet…
Das Zylinderkoordinaten in diesem Fall einfacher sind, haengt mit der Tatsache zusammen, dass r in Kugelkoordinaten radial vom Ursprung (0,0,0) wegzeigt und r in Zylinderkoordinaten immer in der x,y-Ebene liegt. Deshalb ist die Integrationsgrenze bzgl. r in Kugelkoordinaten auch vom Winkel t abhaengig. Die grenzen erhaelt man aus der Ueberlegung, das folgendes gilt:
r cos(t) = R - h fuer beliebige Paare r und t
CU
Danke für die Antwort. Ich hatte das Problem mit den Integrationsgrenzen bezüglich (in deinem Fall) t. r hatte ich auch falsch angenommen, so kam bei jedesmal das Volumen eines Kugelsektors raus. Da ich nun den Lösungsweg für die Kugelkappe habe, wird es auch kein Problem sein, ein Kugelsegment zu berechnen.
Beth
p [0,2pi]
t [0,arccos(1-h/R)]
r [(R-h)/cos(t),R]
Wie Du siehst kann man nach „Schwarz“ die
Integrationsreihenfolge bzgl. t und r nicht vertauschen, da
die Integrationsgrenze fuer r vom Winkel t abhaengt.
So ist das aber nicht ganz richtig:
Nach Schwarz kann die Integrationsreihenfolge sehr wohl vertauscht werden (die Vorraussetzungen sind hier erfüllt). Allerdings muss man die Integrationsgrenzen neu bestimmen.
ciao
ralf
-)
Hab ich mir gedacht, dass das kommt. Einverstanden mit Deinem Hinweis! Aber es ist immer nett, kleine Pruefungen einzubauen als Test ob auch Gescheite gescheit lesen…
Tschau